Man ska förstå vad som menas med en reguljär parametriserad kurva, att en sådan kan parametriseras om med båglängd och hur krökningen och torsionen definieras i detta fall. Frenets ekvationer ska kunna härledas liksom formler för krökning och torsion för en godtycklig reguljär parametriserad kurva.
Det är också viktigt att känna till att krökning och torsion på ett väsentligt sätt bestämmer kurvan. (Fundamentalsatsen.) Beviset för att två reguljära parametriserade kurvor med samma krökning (positiv) och torsion skiljer sig åt bara genom en translation och rotation ska kunna genomföras.
Krökningsbegreppet för plana kurvor ska vara bekant liksom den isoperimetriska olikheten (ska kunna visas) och fyrvertexsatsen för en sluten enkel kurva.
Kapitel 2:
Allmänna saker från kursen i flervariabelanalys ska vara bekanta, liksom inversa funktionssatsen och (den vanliga) definitionen av kontinuitet. (Enligt Appendix och Tillägg.)
Man ska kunna redogöra för begreppet reguljär yta. Det ska vara bekant att inversa bilden till ett reguljärt värde av en glatt reellvärd funktion är en sådan (med bevis) och att en sådan har en grafparametrisering runt varje punkt (med bevis). Man ska förstå att villkoren på en lokal parametrisering kan förenklas om man redan känner till att ytan är reguljär.
Man ska känna till begreppen reguljär kurva (i motsats till reguljär parametriserad kurva) och (reguljär) parametriserad yta (i motsats till reguljär yta).
Man ska förstå definitionen av att en avbildning mellan reguljära ytor är glatt, och att det räcker att kontrollera definitionen för ett val lokala parametriseringar. Det ska vara bekant att sådana kan fås genom restriktion av glatta funktioner definierade på öppna mängder.
Man ska kunna redogöra för begreppen tangentrum (tangentplan) och differential till glatt avbildning mellan ytor och att dessa är 2-dimensionella linjära rum respektive linjära avbildningar. Det ska vara bekant hur man bestämmer en normal till tangentrummen antingen genom att parametrisera runt en punkt eller genom att framställa ytan som inversa bilden av ett reguljärt värde till en glatt reellvärd funktion.
Man ska känna till definitionen av första fundamentalformen för en yta, koefficienterna E, F och G (relativt en lokal parametrisering), samt hur dessa kan användas för att överföra geometriska frågeställningar på ytor till analytiska problem på öppna mängder i planet.
Definitionen av orienterbar yta och orientering av sådan ska vara bekant, liksom att inversbilden till ett reguljärt värde till en glatt funktion är orienterbar.
Kapitel 3:
Man ska förstå vad en Gaussavbildning för en orienterbar reguljär yta är och hur den ger Weingarten avbildningen -dNp : Tp(S) -> Tp(S). Man ska kunna redogöra för att denna är självadjungerad och varför det finns en ON-bas för tangentrummet bestående av egenvektorer till.
Man ska känna till att egenvärdena till Weingartenavbildningen kallas principalkrökningar och att dess egenvektorer är principalriktningarna. Definitionen av asymptotisk linje och krökningslinje är viktiga.
Begreppen normalkrökning och normalsnitt ger en viktig geometrisk tolkning av andra fundamentalformen, som man ska kunna redogöra för.
Man ska känna till att Gausskrökning och medelkrökning är determinanten respektive halva spåret av Weingartenavbildningen, samt klassificeringen av punkter på ytan med hjälp av dessa begrepp.
Man ska veta hur matrisen för Weingarten kan uttryckas med hjälp av koefficienterna för första och andra fundamentalformerna (Weingartens ekvationer), efter val av lokal parametrisering och hur detta leder till formler för Gauss- och medelkrökning.
Man ska kunna härleda differentialekvationerna för asymptotisk linje och krökningslinje med hjälp av koefficienterna i första och andra fundamentalformerna.
Man ska känna till hur Dupins indikatris talar om karaktären av en punkt på ytan och att indikatrisen approximerar ett snitt mellan ytan och ett plan parallellt med tangentplanet i närheten av en icke-plan punkt.
Begreppen (glatt) vektorfält, samt trajektoria (integralkurva), lokalt flöde och första integral till sådant är viktiga.
Man ska känna till att givet två vektorfält på en yta som är linjärt oberoende i en punkt, så finns det en parametrisering av ytan så att koordinatkurvorna blir integralkurvor till vektorfälten, åtminstone i närheten av punkten.
Man ska förstå hur detta leder till att det finns en lokal ortogonal parametrisering runt varje punkt på en reguljär yta. Man ska känna till att det finns en parametrisering sådan att koordinatkurvorna är asymptotiska linjer kring varje hyperbolisk punkt och sådan att koordinatkurvorna är krökningslinjer kring varje icke-navelpunkt.
Man ska känna till begreppen regelyta, generatris, striktionslinje, centralpunkt och utvecklingsbar regelyta.
Kapitel 4:
Man ska veta vad som menas med en (lokal) isometri och (lokalt) isometriska ytor.
Man ska kunna redogöra för Christoffelsymbolerna och att dessa är inre storheter, dvs kan uttryckas med hjälp av koefficienterna i första fundamental-formen och att de därför ``bevaras'' av en lokal isometri. Man ska kunna visa att Gausskrökningen är en inre storhet och därför bevaras av en lokal isometri. Man ska känna till hur Mainardi-Codazzis ekvationer härleds, samt innehållet i Bonnets sats.
Man ska veta vad som menas med den kovarianta derivatan av ett vektorfält längs en kurva och att vektorfältet är parallellt längs kurvan och att detta är en inre storhet. Man ska kunna visa att skalärprodukten av parallella vektorfält längs en kurva är konstant.
Man ska känna till definitionen av den geodetiska krökningen av en parametriserad kurva och vad som menas med en (parametriserad) geodet. Man ska förstå att geodeter ``bevaras'' av isometrier.
Man ska veta vad som menas med parallelltransport längs en kurva och att detta är en linjär avbildning mellan tangentrum.
Man ska kunna härleda differentialekvationen för parametriserade geodeter i en lokal parametrisering av ytan och att detta leder till existens av geodeter i varje riktning i varje punkt på ytan.