Vad är viktigt?

Kapitel 1-3:

Man ska förstå vad som menas med en reguljär parametriserad kurva, att en sådan kan parametriseras om med båglängd och hur krökningen och torsionen definieras i detta fall. Frenet-Serrets ekvationer ska kunna härledas liksom formler för krökning och torsion för en godtycklig reguljär parametriserad kurva. Krökningsbegreppet för plana kurvor ska vara bekant Det är också viktigt att känna till att krökning och torsion på ett väsentligt sätt bestämmer kurvan (Theorem 2.1 och 2.3).

Fyrvertexsatsen för en sluten enkel kurva ska kunna visas. Den isoperimetriska olikheten ska vara bekant.

Kapitel 4:

Allmänna saker från kursen i flervariabelanalys ska vara bekanta, liksom inversa funktionssatsen.

Man ska kunna redogöra för begreppet reguljär yta. Det ska vara bekant att inversa bilden till ett reguljärt värde av en glatt reellvärd funktion är en sådan (med bevis) och att en sådan har en grafparametrisering runt varje punkt. Man ska förstå att villkoren på en lokal parametrisering kan förenklas om man redan känner till att ytan är reguljär.

Man ska förstå definitionen av att en avbildning mellan reguljära ytor är glatt, och att det räcker att kontrollera definitionen för ett val lokala parametriseringar. Det ska vara bekant att sådana kan fås genom restriktion av glatta funktioner definierade på öppna mängder.

Man ska kunna redogöra för begreppen tangentrum (tangentplan) och att dessa är 2-dimensionella linjära rum. Det ska vara bekant hur man bestämmer en normal till tangentrummen antingen genom att parametrisera runt en punkt eller genom att framställa ytan som inversa bilden av ett reguljärt värde till en glatt reellvärd funktion.

Definitionen av orienterbar yta och orientering av sådan ska vara bekant, liksom att inversbilden till ett reguljärt värde till en glatt funktion är orienterbar.

Kapitel 5-7

Man ska känna till definitionen av första fundamentalformen för en yta, koefficienterna E, F och G (relativt en lokal parametrisering), samt hur dessa kan användas för att överföra geometriska frågeställningar på ytor till analytiska problem på öppna mängder i planet.

Man ska veta vad som menas med en (lokal) isometri och (lokalt) isometriska ytor, och med konforma avbildningar.

Begreppen normalkrökning och normalsnitt ger en viktig geometrisk tolkning av andra fundamentalformen, som man ska kunna redogöra för.

Man ska känna till att egenvärdena till Weingartenavbildningen kallas principalkrökningar och att dess egenvektorer är principalriktningarna. Man ska kunna redogöra varför det finns en ON-bas för tangentrummet bestående av egenvektorer. Definitionen av asymptotisk linje och krökningslinje är viktiga.

Man ska förstå vad Gaussavbildningen för en orienterbar reguljär yta är.

Man ska känna till att Gausskrökning och medelkrökning är determinanten respektive halva spåret av Weingartenavbildningen, samt klassificeringen av punkter på ytan med hjälp av dessa begrepp.

Man ska känna till differentialekvationerna för asymptotisk linje och krökningslinje med hjälp av koefficienterna i första och andra fundamentalformerna.

Man ska känna till att givet två vektorfält på en yta som är linjärt oberoende i en punkt, så finns det en parametrisering av ytan så att koordinatkurvorna blir integralkurvor till vektorfälten, åtminstone i närheten av punkten. Man ska känna till att det finns en parametrisering sådan att koordinatkurvorna är asymptotiska linjer kring varje hyperbolisk punkt och sådan att koordinatkurvorna är krökningslinjer kring varje icke-navelpunkt.

Man ska känna till begreppen regelyta och developpabel regelyta.

Men ska kunna visa att det finns på en kompakt yta en punkt med positiv Gausskrökning (Prop. 7.6).

Kapitel 8 och 10:

Man ska känna till definitionen av den geodetiska krökningen av en parametriserad kurva och vad som menas med en (parametriserad) geodet. Man ska förstå att geodeter ``bevaras'' av isometrier.

Man ska kunna härleda differentialekvationen för parametriserade geodeter i en lokal parametrisering av ytan och att detta leder till existens av geodeter i varje riktning i varje punkt på ytan. Man ska kunna beskriva geodeterna på en rotationsyta.

Man ska förtså vad menas med ``kortaste'' avstånd.

Man ska kunna visa att Gausskrökningen är en inre storhet, dvs kan uttryckas med hjälp av koefficienterna i första fundamentalformen och att den därför ``bevaras'' av en lokal isometri (theorema egregium). Man ska kunna redogöra för Christoffelsymbolerna och att dessa är inre storheter och därför bevaras av en lokal isometri. Man ska känna till hur Codazzi-Mainardis ekvationer härleds.

Kapitel 9:

Man ska känna till begreppet minimalyta.

Men ska kunna visa att Gaussavbildningen för en minimayta är konform.

Kapitel 11:

Man ska känna till Gauss-Bonnets sats för kroklinjiga polygoner och för kompakta ytor.


Jan Stevens <stevens@math.chalmers.se >
Last modified: Mon Feb 28 2005