Differentialgeometri handlar om krökta mångfalder.
Kursen ger en introduktion och behandlar kurvor och ytor i planet och
rummet. Det centrale begreppet är krökning. I geometrin på krökta ytor
spelar geodeter rollen av räta linjer i planet som lokalt kortaste linjer
mellan två punkter. Kursen avslutar med Gauss-Bonnets sats, som ger en
samband mellan integralen över krökningen och ytans topologiska egenskaper.
| Innehåll |
| Litteratur | Till innehåll
 |
Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry , Springer, London etc., 2001.
| Program | Till innehåll
|
Allteftersom kursen framskrider markeras avklarat material med grönt.
| Dag | Stoff | Avsnitt |
| 22/1 | Reguljära kurvor i rummet, båglängd. | 1.1-1.4 |
| 24/1 | Frenets treben till en kurva, krökning och torsion. | 2.1-2.3 |
| 29/1 | Isoperimetriska olikheten, fyrvertexsatsen. | 3.1-3.3 |
| 31/1 | Reguljära ytor. | 4.1, 4.2, 4.7 |
| 5/2 | Tangentplan. Exempel på ytor. | 4.3-4.5 |
| 7/2 | Första fundamentalformen, isometrier | 5.1-5.3 |
| 12/2 | Konforma avbildningar. Area. | 5.4, 5.5 |
| 14/2 | Andra fundamentalformen, normalkrökning. | 6.1-6.3 |
| 19/2 | Gauss- och medelkrökning. | 6.4, 7.1, 7.2 |
| 21/2 | Gaussavbildningen. | 7.3-7.6 |
| 26/2 | Geodeter. | 8.1-8.3 |
| 28/2 | Geodeter som kortaste väg. | 8.4, 8.5 |
| 5/3 | Minimalytor. | 9.1-9.4 |
| 7/3 | Theorema egregium, Mainardi-Codazzis ekvationer. | 10.1-10.4 |
| 12/3 | Gauss-Bonnetsats. | 11.1-11.3 |
| 14/3 | Gammal tenta. |
| Dag | Uppgifter |
| 25/1 | Kap 1: 1,2,3,5,6,7,10,11,14 |
| 1/2 | Kap 2: 1,2,4,5,15,16 Kap 3: 3,8 |
| 8/2 | Kap 4: 1,2,3,4,10,13,16,26 |
| 15/2 | Kap 5: 1ii,iv,6,7,11,14, Kap 6: 6,7,9,13,24 |
| 22/2 | Kap 7: 3,7,12i,18,5,19 |
| 1/3 | Kap 8: 1,5,6,7,13,18 |
| 8/3 | Kap 10: 5,6,7,9,10 |
| Tentamina | Till innehåll
|
Vid tentamen är inga hjälpmedel tillåtna.
Tentamen äger rum
törsdagen den 15 mars.
Samtliga satser som ingår i kursmaterialet ska kunna formuleras.
Definitonerna ska kunna formuleras. För mer detaljerad
information se sidan om vad som är viktigt.
| Tentor | Till innehåll
|
| Inlämningsuppgifter | Till innehåll
|
Under kursen kommer tre inlämningsuppgifter att förekomma.
Man har cirka två veckor på sig att lösa dem. De rättas och poäng bedöms. Syftet är att öva problemlösning.
Varje uppgift kan ge sex poäng. Om poängsumman är 9 eller mer får man 1 bonuspoäng vid tentamen. Är den 14 eller mer får man 2 bonuspoäng. Bonuspoängen kan användas vid ordinarie tentamen för att uppnå betyget godkänd, men inte för betyget väl godkänd.
| Kommentar och tillägg | Till innehåll
|
Kommentar och tillägg till boken
Den isoperimetriska olikheten.
Geodesics as shortest curves, ett enklare bevis för Thm. 8.2, hämtad från en motsvarandede kurs i Köpenhamn.
| Vad är viktigt? | Till innehåll
|
| Länkar | Till innehåll
|