Göteborgs universitet

Tentamensskrivning i MIN600 Linjär algebra och analys, Naturvetenskaplig Problemlösning Datum: 01-08-18 Telefonvakt: tel. 0740–350646 Hjälpmedel: typgodkänd kalkylator

Tentan beräknas vara färdigrättad den 2/9. Resultaten anslås omgående och kan fås per telefon 772 3509 från den 2/9. Tentorna kan hämtas i mottagningsrummet kl 12.30–13.00 varje vardag.

1. Låt u = (1, 1) och v = (1, 3) i ℝ^{2}.

(a) Kan (0, 2) skrivas som en linjärkombination av u och v?

(b) Skriv (3, 1) som en linjärkombination av u och v.

(c) Vilka vektorer kan generellt skrivas som en linjärkombination av u och v? (3p)

2. Låt V vara ett linjärt rum. Beskriv vad som menas med en skalärprodukt på V. (Vilka egenskaper ska vara uppfyllda?) (2p)

3. Förklara i korthet populärvetenskapligt för en tänkt gymnasist på N-programmet (om det fortfarande heter så) vad en Fourierserie är för något och vad den kan användas till. (2p)

4. Lös ekvationen x′ = Ax då

A = ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ −1 & −1 \end{matrix} ) . (2p)

5. Låt P_{3} utrustas med sin standardskalärprodukt:

⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)g(t) dt.

Bestäm underrummet W^{⊥} när W genereras av {1, t^{3}}. (2p)

6. Hitta, om möjligt, tre linjärt oberoende egenvektorer till matrisen

( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & −4 & 5 \end{matrix} ) .

(Om det är omöjligt, förklara varför.) (2p)

7. Visa att A och A^{t} har samma egenvärden. (2p)

8. Låt A vara en n × n matris. Visa att om j:te kolonnen till A är lika med kI_{j}, där I_{j} är j:te kolonnen i enhetsmatrisen, så är k ett egenvärde till A. (2p)

9. Studera matrisen

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} ) .

(a) Förklara varför dess kolonner utgör en bas i ℝ^{3}.

(b) Utgå från dessa tre basvektorer för att mha Gram-Schmitdts ON process, konstrera en ON-bas. (2p)

10. Som bekant är spåret (trace) av en kvadratisk matris summan av dess diagonalelement. (a) Visa att spåroperationen kan ses om en linjär avbildning från ett linjärt rum till ett annat (vilka då?). Illustrera denna avbildning med ett exempel och en principskiss för n = 2.

(b) Visa att spåret av A är lika med summan av A:s egenvärden. (2p)

11. Vad är nollrummet till följande linjära avbildning F från P_{4} till P_{5}:

F (p(x)) = ∫_{−2}^{x+2} p(t) dt. (2p)

12. När är summan av två projektioner en projektion? (2p)

Lycka till! /TL