Göteborgs universitet

Mycket kortfattade lösningar, alternativt svar, till tentamensskrivning i MIN600 Linjär algebra och analys, Naturvetenskaplig Problemlösning Datum: 01-08-18

1. Låt u = (1, 1) och v = (1, 3) i ℝ^{2}.

(a) Kan (0, 2) skrivas som en linjärkombination av u och v?

(b) Skriv (3, 1) som en linjärkombination av u och v.

(c) Vilka vektorer kan generellt skrivas som en linjärkombination av u och v? (3p)

(a) (0, 2) = −u + v. (b) (1, 3) = 4u − v. (c) Problemet kan formuleras som följer: för vilka x, y kan vi hitta a och b så att följande matrisekvation gäller.

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) .

Eftersom matrisen är icke singulär (eftersom determinanten är skild ifrån noll) kan man hitta a och b för godtyckliga värden på x och y. Dvs alla vektorer i ℝ^{2} kan skrivas som en linjärkombination av u och v. (Alternativt räcker det med att konstatera att u och v är linjärt oberoende och således spänner upp hela ℝ^{2}.)

2. Låt V vara ett linjärt rum. Beskriv vad som menas med en skalärprodukt på V. (Vilka egenskaper ska vara uppfyllda?) (2p)

Se till exempel Definition 2.1 på sidan 29 i Holmåkers kompendium.

3. Förklara i korthet populärvetenskapligt för en tänkt gymnasist på N-programmet (om det fortfarande heter så) vad en Fourierserie är för något och vad den kan användas till. (2p)

Se tex Janas kompendium om rummet L^{2}.

4. Lös ekvationen x′ = Ax då

A = ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ −1 & −1 \end{matrix} ) . (2p)

Se övningsexempel 1 b på sidan 95 i Holmåkers kompendium.

5. Låt P_{3} utrustas med sin standardskalärprodukt:

⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{1} f(t)g(t) dt.

Bestäm underrummet W^{⊥} när W genereras av {1, t^{3}}. (2p)

Ett allmänt 3:e grads polynom i W^{⊥}, w(t) = a + bt + ct^{2} + dt^{3}, uppfyller ⟨w, 1⟩ = 0 och ⟨w, t^{3}⟩ = 0. Dessa integralvillkor ger oss följande två ekvationer:

a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4} = 0,

\frac{a}{4} + \frac{b}{5} + \frac{c}{6} + \frac{d}{7} = 0.

Vi kan lösa detta underbestämda system och skriva lösningsmängden på parameterform genom att tex sätta a = r och b = s. Lösningen kan då skrivas som

(a, b, c, d) = r(1, 0, −\frac{27}{2}, 14) + s(0, 1, −\frac{18}{5}, \frac{14}{5}).

Ur detta får vi följande bas för underrumet W^{⊥}

\{1 − \frac{27}{2}t^{2} + 14t^{3}, t − \frac{18}{5}t^{2} + \frac{14}{5}t^{3}\}.

6. Hitta, om möjligt, tre linjärt oberoende egenvektorer till matrisen

( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & −4 & 5 \end{matrix} ) .

(Om det är omöjligt, förklara varför.) (2p) Standard strategi. Se tex exemplena 4.5 och 4.8. Här är ett exempel på tre linjärt oberoende egenvektorer:

(−1, 1, 2), (−2, 1, 4) och (−1, 1, 4).

7. Visa att A och A^{t} har samma egenvärden. (2p)

Låt λ och e vara ett egenvärde med respektive egenvektor för A och låt λ_{f} och f vara motsvarande för A^{t}. Vi har per definition att Ae = λe. Transponerar vi denna likhet får vi e^{t}A^{t} = λe^{t} om vi till båda leden multiplicerar vektorn f får vi tillslut att

λe^{t}f = e^{t}A^{t}f = e^{t}λ_{f}f = λ_{f}e^{t}f.

Vilket ger oss att λ_{f} = λ.

8. Låt A vara en n × n matris. Visa att om j:te kolonnen till A är lika med kI_{j}, där I_{j} är j:te kolonnen i enhetsmatrisen, så är k ett egenvärde till A. (2p) Vi ser direkt att

AI_{j} = j:te kolonnen avA = kI_{j}.

Med andra ord. k är ett egenvärde till egenvektorn I_{j}.

9. Studera matrisen

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} ) .

(a) Förklara varför dess kolonner utgör en bas i ℝ^{3}. Determinanten är skild från noll, mao kolonnerna är linjärt oberoende och eftersom de är tre till antalet är de en bas i ℝ^{3}.

(b) Utgå från dessa tre basvektorer för att mha Gram-Schmitdts ON process, konstrera en ON-bas. (2p) Kalla kolonnvektorerna k_{1}, k_{2}, k_{3}. Starta med v_{1} = k_{1} + (1, 1, 1)^{t}. v_{2} blir då

k_{2} − \frac{v_{1}^{t}k_{2}}{v_{1}^{t}v_{1}} v_{1} = (0, −1, 1)^{t}.

Slutligen får vi

v_{3} = k_{3} − \frac{v_{1}^{t}k_{3}}{v_{1}^{t}v_{1}} v_{1} − \frac{v_{2}^{t}k_{3}}{v_{2}^{t}v_{2}} v_{2} = … = (−1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})^{t}.

Normering av dessa tre ortogonala vektorer ger följande (icke unika) ON bas:

\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)^{t}, \frac{1}{\sqrt{2}}(0, −1, 1)^{t}och\frac{1}{\sqrt{6}}(−2, 1, 1)^{t}.

10. Som bekant är spåret (trace) av en kvadratisk matris summan av dess diagonalelement. (a) Visa att spåroperationen kan ses om en linjär avbildning från ett linjärt rum till ett annat (vilka då?). Illustrera denna avbildning med ett exempel och en principskiss för n = 2.

(b) Visa att spåret av A är lika med summan av A:s egenvärden. (2p)

(a) Spåroperationen kan ses som en avbildning från det linjära rummet ℝ^{n×n} av alla kvadratiska (reellvärda) matriser till det linjära rummet ℝ. Låt oss kalla den avbildningen S. För godtyckliga kvadratiska matriser (av samma storlek) A, B och ett godtyckligt reellt tal α, ser vi lätt att S(A + B) = S(A) + S(B) och att S(αA) = αS(A).

(b) Se tex sidan 61 i Holmåkers kompendium.

11. Vad är nollrummet till följande linjära avbildning F från P_{4} till P_{5}:

F (p(x)) = ∫_{−2}^{x+2} p(t) dt. (2p)

Nollrummet till F är enligt definitionen

N(F) = {p ∈ P_{4} : F (p) = 0}.

Låt oss ta ett godtyckligt p ∈ P_{4} där p(t) = a + bt + ct^{2} + dt^{3} + et^{4}. Vi får då att F (p) är ett polynom i P_{5} med variabeln x enligt följande.

F (p) = a(x + 2) + \frac{b(x + 2)^{2}}{2} + \frac{c(x + 2)^{3}}{3} + \frac{d(x + 2)^{4}}{4} + \frac{e(x + 2)^{5}}{5} + 2a − 2b + \frac{8c}{3} − 4d + \frac{32e}{5}.

För att detta ska vara noll för varje val av x krävs tex att den ledande termen \frac{e}{5}x^{5} ska vara noll. (Låt x gå mot ∞.) Dvs att e = 0. Om nu e = 0 kommer den nya ledande termen att vara \frac{d}{4}x^{4}, etc. Detta leder oss till att alla koeficienter a, b, c, d och e, mäste vara noll. Dvs N(F) = 0. Med andra ord nollrummet till F är endast nollpolynomet i P_{4}.

12. När är summan av två projektioner en projektion? (2p)

Kalla två godtyckliga projektioner för P och Q. Vi antar att också P + Q är en projektion. Vad ska då gälla? Jo, tex om vi projecerar en gång till får vi ingen förändring. Dvs

(P + Q)^{2} = P + Q,

vilket ger oss efter förenkling att

P Q + QP = ¯0.

Om vi tex multiplicerar denna ekvation med P får vi två nya ekvationer som vi kan ta differensen av vilket ger oss att

P Q − QP = ¯0.

Tillsammans med den tidigare ekvationen får vi alltså att

P Q = QP = ¯0.

Detta är ett nödvändigt villkor för att summan P + Q ska vara en projektion. Omvänt har vi att om P Q − QP = ¯0 gäller så är (P + Q)^{2} = P^{2} + Q^{2} = P + Q. Dvs, P + Q är en projektion.