Aktuella meddelanden
Kursens schema finns i TimeEdit.
Välkomna till del 1 av kursen Flervariabelanalys!
Observera att det ingår ett moment om matematisk kommunikation
i kursen (inte specifikt i någon av delkurserna), som beskrivs
på den övergripande
kurshemsidan. Momentet kräver obligatorisk närvaro
så missa inte informationen.
Studiehjälp (med äldre studenter) kommer att ges under kursen om
intresse/behov finns.
Lärare
Kursansvarig: Andreas Rosén, tel. 772 5365, rum MVH 4016
Kurslitteratur
Persson-Böiers (PB): Analys
i flera variabler, Studentlitteratur 2005. (Kapitel
1-5)
Övningar i Analys i flera
variabler, Lund 2007, Studentlitteratur.
Gustafsson-Löfström-Olsson (GLO): Några grundläggande begrepp i matematisk analys.
Kompendium, Göteborg 1995. (Kapitel 1)
Se även kurslitteraturlistan,
där det även finns information om försäljningsställen.
Program
Undervisningen består av:
- Föreläsningar på Tisdagar och Torsdagar kl 10:00-11:45 i
Pascal resp MVH12
- Lektioner/Föreläsning på Tisdagar och Torsdagar kl 13:15-15:00 i MVF26
För detaljerat (och ev uppdaterat) schema se länken till webTimeEdit på sidans topp.
Parallellt sker undervisning i matematisk kommunikation som
beskrivs på annan plats (se under Meddelanden).
Preliminärt program för
föreläsningarna
Nedanstående schema anger i vilken takt kursinnehållet är tänkt
att föreläsas. Det sker i huvudsak under föreläsningstiden på
förmiddagen, men vissa moment kan komma att föreläsas under
eftermiddagen.
Inför varje föreläsning bör du läsa igenom de avsnitt som ska
tas upp på föreläsningen. Det gör inget om du inte förstår vid
denna första genomläsning! Det blir (efter en genomläsning)
betydligt enklare för dig att följa med, och att ställa frågor,
under föreläsningen samt att veta vad som eventuellt behöver
antecknas. Efter föreläsningen bör du sen arbeta igenom
avsnitten mer noga.
Nedanstående schema kan komma att uppdateras under kursens gång.
Dag | Avsnitt |
Innehåll |
---|---|---|
Ti 16/1 |
PB: 1.1-1.4 GLO: 1.1, (1.3) |
Rummet R^n. Avstånd. Triangelolikheten.
Cauchy-Schwarz' olikhet. Öppna, slutna, begränsade,
kompakta mängder. Funktioner av flera variabler. |
To 18/1 |
PB: 1.5-1.6 GLO: 1.4 |
Gränsvärden i flera
variabler. Kontinuerliga funktioner och deras relation
till öppna och slutna mängder. |
Ti 23/1 |
PB: 2.1-2.2 |
Partiella derivator. Differentierbarhet. |
To 25/1 |
PB: 2.3-2.4 |
Derivering av sammansatta funktioner
(kedjeregeln). Gradient. Riktningsderivata. |
Ti 30/1 |
PB: 2.4-2.5 |
Gradientens geometriska
betydelse. Högre ordningens partiella derivator.
Variabelbyte i partiella differentialekvationer 2. |
To 1/2 |
PB: 2.6-2.7 |
Taylorutveckling och
lokalt beteende hos en funktion. Kriterier för lokala
extremvärden. Kort om differentialer. |
Ti 6/2 |
PB:3.1-3.2 |
Tangenter till parametriserade kurvor.
Normaler och tangentplan till parametriserade ytor.
Funktionalmatriser (totala derivatan) och linjär
approximation. |
To 8/2 |
PB: 3.3-3.4 |
Funktionaldeterminanter. Inversa och
implicita funktionssatserna. Hur man i samband ser att
en variabel är en funktion av övriga. |
Ti 13/2 |
GLO: 1.2 |
Rummet R^n och dess
fullständighet. Punktföljder och deras eventuella
konvergens. Existens av konvergent delföljd till en
begränsad följd (Bolzano-Weierstrass' sats). Cauchys
karakterisering av konvergenta punktföljder (Cauchys
konvergensprincip). |
To 15/2 |
GLO: 1.3 |
Mer om öppna mängder.
Oändliga mängder med ändlighetsliknande egenskaper
(kompakthet). Karakterisering av slutna och kompakta
mängder med punktföljder. |
Ti 20/2 |
GLO: 1.5 |
Kontinuerliga funktioners bilder av kompakta
resp sammanhängande mängder. Kompakta och sammanhängande
delmängder till R. Resultat: satsen om mellanliggande
värde. |
To 22/2 |
GLO: 1.6 |
Likformig kontinuitet. |
Ti 27/2 |
PB: 4.1-4.2 |
Optimering
(största/minsta värde) på kompakter och icke-kompakter. |
To 1/3 |
PB: 4.3 |
Optimering av funktioner
definierade på kurvor och ytor. Lagranges
multiplikatormetod. Generella bivillkor. |
Ti 6/3 |
PB: 5.1, 5.4 |
Omkastning av derivering och integrering.
Några partiella differentialekvationer. |
To 8/3 |
Repetition. Gamla tentor. |
Rekommenderade övningsuppgifter
Lektionerna ägnar vi i huvudsak åt övningar på avsnitten som
förelästes vid föregående tillfälle (ej samma dag), men även en
del teori gås igenom. Försök lösa uppgifterna själv eller
tillsammans med kamrater före lektionstillfället, speciellt de
som föreläsaren planerar demonstrera! Att själv kunna lösa alla
uppgifterna på schemat nedan är ett nödvändigt men inte
tillräckligt förutsättning för att klara tentan.
Nedanstående schema kan komma att uppdateras under kursens
gång.
Dag |
På tavlan |
Räkna
själva |
---|---|---|
Ti 16/1 |
Teori. | Mjukstart med
uppgifter nedan. |
To 18/1 |
PB 1:12, 19. GLO 1.1: 4b, 1.3: 1d, 4. |
PB
1: 6, 7, 8, 10, 14, 15, 16, 18, 30ab. GLO 1.1: 1, 2ac, 4acd, 1.3: 1, 2abcd, 7abc. |
Ti
23/1 |
PB 1: 25a, 27e, 29c. GLO 1.4: 8. |
PB 1: 24ab, 25bc, 27ac, 29ab,
31. GLO 1.4: 1abc, 2, 3, 4, 5, 7, 9. |
To 25/1 | PB 2: 6b, 8d. | PB 2: 1, 2b, 3, 4, 6a, 8ab, 11, 12. |
Ti
30/1 |
PB 2: 14, 18, 78, 28d. | PB 2: 13, 15,
17, 20, 21, 24, 28abc, 32. |
To 1/2 |
PB 2: 45, 48, 52. | PB 2:
38, 40, 42, 50, 58, 75. |
Ti 6/2 |
PB 2: 60b, 68c, 71c, 94. | PB 2: 60a, 67, 68abd, 70, 71ab, 91, 96,
100. |
To 8/2 | PB 3: 1d, 6, 12. | PB 3: 1abc, 4, 5, 7, 9, 13. |
Ti 13/2 |
PB 3: 15, 22, 25. | PB 3:
17, 19, 24, 27, 31, 37, 41. |
To 15/2 |
GLO 1.2: 2c, 6e. | GLO
1.2: 2ab, 4, 5, 6, 7. |
Ti 20/2 |
GLO 1.3: 5, 6. | GLO 1.3: 5, 6, 8,
9ab. |
To 22/2 |
GLO 1.5:
10a, 7, 11lmn. |
GLO 1.5:
1, 2ad, 3, 4, 5, 6, 10bcd, 11abcdefjk. |
Ti 27/2 |
GLO 1.6: 1fg, 2e. | GLO 1.6: 1abcde,
2abcd. |
To 1/3 |
PB 4: 12,
19, 38. |
PB 4: 3, 6, 9, 11,
13, 15, 22. |
Ti 6/3 |
PB 4: 32, 40. | PB 4: 24, 26, 37, 44, 47. |
To 8/3 |
PB 5: 4. | PB 5: 1, 2, 15. Repetition. |
Studieresurser
Studiehjälp (med äldre studenter) kommer att ges under kursen om intresse/behov finns.
- Den viktigaste resursen är lärarna på kursen. Använd undervisningstiden till att fråga lärarna, speciellt på räkneövningarna. Ställa frågor via e-post är inte alls lika effektivt och lärare har inte alltid tid att besvara utan hänvisar hellre till räkneövningar.
- Mattesupporten är öppen för alla som studerar på Chalmers eller på Naturvetenskapliga fakulteten vid Göteborgs universitet.
- För dig som studerar på Göteborgs universitet och har behov av extra stöd för funktionsnedsättning – se information på GU samt rutinerna vid institutionen.
Datorlaborationer och övningar med Matlab
Under förläsningarna
kommer matlab användas en del av föreläsaren för att
visualisera kursmaterialet.
I kursen ingår dock
inga datorlabbar, men ni som läser Programmering med Matlab och Numerisk analys
parallellt kommer att se exempel från flervariabelanalysen
där. Nedan ges dels referenslitteratur för Matlab, dels
några trevliga länkar som alla kan ha glädje av!
3D-grafritare
Ritar nivåkurvor och grafer till reellvärda funktioner av
två variabler. Växla läge genom att klicka på "Toggle
between 3D Grapher and Contour Map Grapher".
Parametriserade
kurvor
Ritar parametriserade kurvor i planet.
Referenslitteratur:
- Material (utvecklat av MV) som ger en kortfattad introduktion till Matlab
- Holly More: MATLAB for
Engineers
Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier.
- Per Jönsson: MATLAB-beräkningar
inom teknik och naturvetenskap
Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.
Kurskrav
Kursens mål finns angivna i kursplanen.
Observera att det som anges i kursplanen som Mål är det som alla
som klarat kursen förväntas kunna, dvs i princip mål/krav för
godkäntnivån.
Inför tentamen bör man kunna formulera och förstå alla kursens
definitioner och satser, samt kunna tillämpa dem på
problemlösning. Man bör också kunna bevisa följande satser
(minst två av dem kommer på tentan).
PB, Kap 2: Satserna 1, 2, 3, 4, 10 och 11.
PB, Kap 4: Sats 1.
PB, Kap 5: Satserna 1 och 2.
GLO: Satserna 1.6, 1.8, 1.9, 1.14, 1.15, 1.25, 1.28, 1.29, 1.30
och 1.33.
Duggor
I kursen kommer det att ges möjlighet att utföra duggor i en nätbaserad miljö som kallas Maple T.A. Dessa är inte obligatoriska men ger bonus på tentamen enligt ett system som du finner beskrivet under fliken "examination" nedan. Bonusen är giltig t.o.m. omtentan i augusti 2018.
Du hittar duggorna i kursens aktivitet i
(du måste vara registrerad/omregistrerad på kursen).
Tanken med duggorna i Maple T.A. är att underlätta studierna. Det är tillåtet att ta hjälp av lärare och andra kursdeltagare. Det är inte tillåtet att låta någon annan göra duggan åt en, eller att ta hjälp av programvara för att lösa uppgifterna. När du lämnar in duggan intygar du samtidigt att du förstått de svar du lämnat och att du själv kommit fram till dem.
Information om duggorna (OBS
kan komma att ändras allteftersom - så håll extra koll
på denna info):
- Dugga 1 öppnar onsdagen den 24/1
och stänger onsdagen den 31/1 kl 23.59.
Dugga 1 består av 8 uppgifter på avsnitt 1.1 - 2.2 i P-B samt 1.1 och 1.4 i GLO. För att bli godkänd på duggan ska du klara 6 av dessa. Från att du startar en dugga har du tre timmar på dig att svara på uppgifterna. Troligen hinner du inte med detta första gången, men du kan försöka hur många gånger som helst. Varje gång du startar en dugga så slumpas uppgifterna, men det är alltid samma typer av uppgifter. Du kan skriva ut en dugga och diskutera frågeställningarna med kamrater och/eller lärare. Utnyttja lektionerna! När du känner att du förstår de behandlade momenten så klarar du nog duggan på tre timmar - Lycka till!
- Dugga 2 öppnar
onsdagen den 7/2 och stänger onsdagen den 14/2 kl 23.59.
Dugga 2 består av 7 uppgifter på avsnitten 2.3 - 3.1 i P-B, och för att bli godkänd på duggan ska du klara allihop. För varje uppgift kan du kolla om du svarat rätt genom att klicka på "How did I do?" uppe till höger. Du kan jobba med samma test hur många gånger du vill inom tidsramen. När du vill logga ut klickar du på "Quit & Save". Då sparas det du fyllt i, och du kan fortsätta med samma test vid ett senare tillfälle. När du vet att du har rätt svar på alla uppgifterna klickar du på "Grade". Om du klickar på "Grade" och sen öppnar ett test igen, så kommer det att se annorlunda ut.
- Dugga 3 är uppdelad
i två delar:
Dugga 3a öppnar onsdagen den 14/2 och stänger onsdagen den 21/2 kl 23.59. Den består av 3 uppgifter på avsnitt 3.1 - 3.4 i P-B, och du ska klara alla för att bli godkänd. Du kan kontrollera dina svar precis som på Dugga 2, men tiden är begränsad till tre timmar per försök att göra duggan. Du kan dock göra hur många försök som helst.
Dugga 3b öppnar onsdagen den 21/2 och stänger onsdagen den 28/2 kl 23.59. Den består av 4 uppgifter på GLO, och du ska klara 3 av dessa för att bli godkänd. Du kan inte kontrollera dina svar och har tre timmar på dig för varje försök. Samma upplägg som på Dugga 1.
För att bli godkänd på dugga 3 ska båda delarna vara godkända.
Examination
Kursen examineras genom en skriftlig tentamen som består av ca
7 uppgifter som tillsammans ger 25 poäng.
För godkänt resultat på kursen krävs 12 poäng och för betyget
väl godkänd krävs 18 poäng.
Ordinarie tentamen äger rum tisdagen den 16 mars 2018.
Vid tentamen är inga hjälpmedel tillåtna, se även info under
"Tentamensrutiner".
Under kursens gång ges 3 stycken duggor i det elektroniska
examinationsverktyget MapleTA, se info ovan.
Duggorna ger bonuspoäng till tentan (t.o.m. omtentan i augusti
2018) enl följande princip, där d är antalet helt avklarade
duggor:
- Om man har minst 12 poäng på tentan adderas d/2 till skrivningspoängen.
- Om man har mindre än 12 poäng på tentan adderas d, men detta görs enbart om man i så fall uppnår minst 12 poäng - tentaresultatet bokförs då som 12 poäng.
Man kan alltså tillgodoräkna sig max 3 bonuspoäng för att bli godkänd, och max 1,5 bonuspoäng för att få VG.
Rutiner kring tentamina
I tentamensscheman anges alla tentor för respektive period. Du kan läsa i Chalmers studentportal om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers, men observera att du som går på GU ska anmäla dig till tentan via GU:s studentportal, där du även kan läsa om regler för examination vid GU.
Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation.
Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen (GU), för att se dina resultat.
Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat
granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på
kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter
granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska
vetenskapers studieexpedition, se
information om öppettider. Kontrollera att Du har fått
rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på
rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns
en blankett till hjälp.
Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers
studieexpedition, se
information om öppettider. Eventuella klagomål på
rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns
en blankett till hjälp.
Kursutvärdering
I början av kursen bör minst två studentrepresentanter utses
för att tillsammans med lärarna genomföra kursutvärderingen. På
kursens aktivitet i GUL finns
en enkät (kräver inloggning i GUL) som används vid
utvärderingen. Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och
studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter
kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs på
speciell blankett.
Kursrepresentanter är
Lydia Andersson och Rahim Nkunzimana
Gamla tentor
180823
med lösningar
180608
med lösningar
180316
med lösningar
170818
med lösningar
170609 med lösningar
170317 med lösningar
140822 med lösningar
140612 med lösningar
140318
med lösningar
130823
med lösningar
130610
med lösningar
130319
med lösningar
120830
med lösningar
120604
med lösningar
120313
med lösningar
110825
110608
110310
100826
100605
100311
090817
090312
090112
080823
080313