A x = A y  => x = y?

När vi pratade om normalekvationerna, A^TA x = A^T b, sa jag att man inte fick ta bort A^T, det gäller alltså (normalt) inte att A x = b. Det är då naturligt att fundera över när man får ta bort en matris på detta vis. Låt oss studera följande allmänna problem där A nu står för en godtycklig matris, så jag har tagit bort transponatet från normalekvationsexemplet.

Problem: Antag att A är en matris och x och y två godtyckliga vektorer där det gäller att A x = A y. Vilka egenskaper skall A ha för att vi skall kunna dra slutsatsen att  x = y? Dvs. när kan man annullera A?

Låt oss börja med det skalära fallet. För vilka a gäller att a x = a y medför att x = y? Jo, annulleringslagen för multiplikation gäller när a inte är noll, ty då kan vi ju dividera båda leden med a och få x = y. Om a däremot är noll så gäller inte lagen. T.ex. gäller ju  0 * 2 = 0 * 3 men två är inte lika med tre. Ibland kan det ju stämma, t.ex. 0 * 2 = 0 * 2, men det stämmer inte alltid. Annulleringlagen för addition gäller dock för alla a. Dvs a + x = a + y medför alltid att x = y.

Nu tar vi steget till matriser. Annulleringslagen för matrisaddition gäller för alla A eftersom  A + X = A + Y medför att X = Y. Däremot gäller inte annulleringslagen för matrismultiplikation allmänt. Det kommer knappast som en överraskning. Vi kan ju se det skalära fallet, a x = a y, som ett specialfall av matrisfallet. Om vi generaliserar det skalära fallet verkar det väl rimligt att kräva att A är kvadratisk och ickesingulär. Så följande är sant:

Om A är en kvadratisk och ickesingulär matris så gäller att A x = A y medför att x = y.

Detta är enkelt att bevisa. Om vi multiplicerar A x = A y med A^-1 från vänster får vi ju x = y.

Om A är singulär gäller inte annulleringslagen. Vi kan ju t.ex. låta A vara nollmatrisen och x skild från y.

Vi har nu kvar att reda ut fallen när A inte är kvadratisk (som i normalekvationerna). Antag först att A har fler kolonner än rader, dvs. om A är m x n så är m < n (en avlång matris som ligger ner). Detta svarar mot normalekvationsfallet (A^T är ju en liggande matris i detta fall). I detta fall gäller inte annulleringslagen. En "liggande matris" har alltid linjärt beroende kolonner varför det finns en vektor, z, skild från nollvektorn så att A z = 0. Så om A x = A y så gäller ju även A (x + z) = A y och det kan inte vara sant att x = y och x + z = y.

I det sista fallet har A fler rader än kolonner, m > n, vi har en avlång matris som står upp. Det finns då två fall. Om A har linjärt beroende kolonner så kan vi, som i föregående fall, hitta z skild från nollvektorn så att A z = 0 och annulleringslagen gäller då inte. Om A däremot har linjärt oberoende kolonner så gäller lagen, ty A x = A y är ekvivalent med A (x - y) = 0 vilket medför att x = y.

I själva verket duger det sista resonemanget för alla fall, vi hade inte behövt dela upp analysen i de tre olika fallen, m < n, m = n, m > n. Det räcker ju att ta reda på när problemet A (x - y) = 0 har entydig lösning.

Sammanfattningsvis:

Annulleringslagen gäller om A har linjärt oberoende kolonner vilket är möjligt när m = n och A är ickesingulär eller när m > n och A har linjärt oberoende kolonner.

Annulleringslagen gäller inte när A har linjärt beroende kolonner, dvs. då m = n och A är singulär eller när m < n.

Här följer två Matlabexempel där matriserna har linjärt beroende kolonner.

>> A
A =
     1     2     3   % linjärt beroende kolonner
     4     5     6

>> A * [1 -2 1]'     % en z-vektor
ans =
     0
     0

>> A * ([3 1 2]' + [1 -2 1]')  % A * (x + z)
ans =
    11
    29

>> A * [3 1 2]'                % A * y
ans =
    11
    29

%-----------------------------------------------

>> A = ones(3, 2)   % linjärt beroende kolonner
A =
     1     1
     1     1
     1     1

>> A * ([1 2]' + [1 -1]')  % A * (x + z), z = [1 -1]'
ans =
     3
     3
     3

>> A * [1 2]'              % A * y
ans =
     3
     3
     3