Matrisövningar

Vi börjar med att skapa lite data som kommer att användas i beräkningarna. Vi återanvänder a och b från föregående övning.Jag har använt diverse kommandon för att bilda matriserna. Toeplitz, Hankel och Hessenberg kommer vi inte att se mer på denna kurs. Den magiska matrisen är ingalunda viktig i numerisk analys, men det är en bra testmatris eftersom varje tal i matrisen förekommer bara en gång (det är lätt att se var elementen hamnar om man flyttar på delar av matrisen).

Några matriser att räkna med:

Uttryck	Kommentar
n = 5; A = magic(n)	Det finns många speciella matriser som har fått namn.
B = toeplitz(1:n, -(1:n))	Här är en ytterligare en. Hankel och Hessenberg är två till som är döpta efter personer; det finns fler och dessutom många som har namn efter matrisens struktur (t.ex. diagonalmatris).
R = rand(n, 2)	Det finns randn också.
C = ones(n, 2)	zeros-funktionen är bra att känna till också.
a = (1:5)'; b = [1 4 3 2 6]'	Vi behöver två vektor också. Du kan vektorerna från vektorövningen, t.ex.

Nu till lite matrisräkning:

Uttryck	Kommentar
A + B
A + 2	Så här får man göra i Matlab, men inte i "matematiken"
A + C, size(A), size(C)
A * B
A .* B	Notera skillnaden.
A * C
A * C'
C * A
C' * A
R - [R(:, 1), R(:, 2)]	Så? Vad betyder kolon här?
A * R - [A * R(:, 1), A * R(:, 2)]	Slutsats
S = A + A'
S - S'	S är exempel på en sådan matris. Vad kallas den?
(A * B)' - B' * A'	Sats
D = diag(n:-1:1)	Vad kallas en sådan matris?
A * D	Slutsats
D * A	Slutsats
D * A * D
I = eye(n)	Vad heter denna matris?
e2 = I(:, 2)
e5 = I(:, 5)
e2' * A, A(2, :)	Slutsats
A * e5, A(:, 5)	Slutsats
e2' * A * e5, A(2, 5)
e2' * a, a' * e5
I + a * a'	Använd ovanstående för att beräkna elementen i matrisen.
W = (I - a * a' / (a' * a)), W * a	Vad är W?
W - W * W, W - W'
A(:, [5 1 2 4 3])	Slutsats
p = [5 1 2 4 3]
A(:, p)	Slutsats
A([5 1 2 4 3], :) - A(p, :)	Slutsats
A(p, p)	Vad är detta?
P = eye(n); P = P(:, p);	P för permutation
A(:, p) - A * P	Slutsats
A(p, :) - P' * A	Slutsats
A(p, p) - P' * A * P	Slutsats
IA = inv(A), A * IA, IA * A	Slutsats
det(A)
inv(C)	Så att?
inv(inv(A)) - A	Sats
inv(A * B) - inv(B) * inv(A)	Sats
inv(A') - inv(A)'	Sats
S = magic(6)
inv(S), det(S)	Sats
z = [2 2 -1 -2 -2 1]', S * z	Sats
rank(S)	Sats
x = [3 -2]', R * x - (R(:, 1) * x(1) + R(:, 2) * x(2))	Slutsats
Q = orth(randn(n))	help orth
Q' * Q, Q * Q'	Vad kallas en sådan matris?
inv(Q) - Q'	Sats
Q = orth(randn(n, 2))
Q' * Q, Q * Q'	Slutsats

Det finns många andra matnyttiga kommandon. Testa gärna:

max(A)
max(A, [], 2)	[] är en tom matris (till skillnad från en nollmatris).
sort(A)
sort(A, 2)
[m, p] = max(A)
[X, L] = eig(A)
[l, p] = sort(diag(L))	Vad blir diag(L)?
X = X(:, p);
A * X - X * diag(l)	Vad blir diag(l)? Vad borde uttrycket bli?
sum(A, 2)
sum(A)
sum(diag(A))
sum(diag(A(:, end:-1:1)))	Vad är A(:, end:-1:1)? Vad betyder end här?
A(end, :), A(:, end), A(end, end)
max(max(A))
max(A(:))
A(:)
sum(abs(sort(A(:)) - (1:length(A)^2)'))
[A, a; a', 2]
A(2:4, 3:4)