Next: Diskretisering
Up: Ett randvärdesproblem
Previous: Ett
randvärdesproblem
Vi går nu raskt vidare och introducerar en innerprodukt för
funktioner. Vi byter ut
mot mängden av två gånger kontinuerligt deriverbara funktioner
som uppfyller randvillkoren (noll i ändpunkterna). Den vanliga
innerprodukten för vektorer, som är en summa, övergår
i en integral:
Vi ser att
uppfyller villkoren på en innerprodukt.
Vi återvänder nu till differentialekvationen,
.
Om vi inför operatornotation kan vi skriva
.
är en operator (avbildning) som givet en funktion
ger oss andraderivatan med ombytt tecken. Vårt problem kan då
skrivas:
Jämför likheten med ett linjärt ekvationssystem
.
En symmetrisk operator borde nu, i analogi med matrisfallet, uppfylla
för alla
och
som uppfyller randvillkoren.
Vår operator är symmetrisk och för att visa det utnyttjar
vi partialintegration:
Kvantiteterna inom
blir noll på grund av randvillkoren. Operatorn är också
positivt definit ty:
ty om
är skild från nollfunktionen blir även
det.
När vi löser problemet numeriskt diskretiserar vi operatorn och
får ett matrisproblem:
.
Det verkar då kanske rimligt att matrisproblemet ``ärver'' några
av det kontinuerliga problemets egenskaper så att
blir symmetrisk och positivt definit.