Ett egenvärdesproblem

Vi såg ovan att ${\bf A}$ ärvde några av de egenskaper som ${\cal A}$ har. Alla egenskaper ärvs dock inte. Detta syns tydligt om vi ändrar problemet något och i stället studerar egenvärdesproblemet:

$$-u''=\lambda u,\ \ u(0)=u(1)=0$$

Detta problem har oändligt många egenvärden, $\lambda_k=(k\pi)^2$ och egenfunktioner $\sin k\pi t$, $k =1, 2, \ldots$. Den diskreta motsvarigheten, matrisen ${\bf A}$, har dock endast $n$ egenvärden, $\tilde{\lambda}_k=(2\sin( k\pi h/2)/h)^2, k=1, \ldots,n$. ${\bf A}$:s minsta egenvärden approximerar dock ${\cal A}$:s egenvärden väl. Om vi Taylorutvecklar $\tilde{\lambda}_k$ kring $h=0$ får vi:

$$\tilde{\lambda}_k=\lambda_k\left[1-\frac{\lambda_k h^2}{12} +\frac{\lambda_k^2 h^4}{360}+\cdots\right]$$

varför det relativa felet kan skrivas

$$\frac{\tilde{\lambda}_k-\lambda_k}{\lambda_k}= -\frac{\lambda_k h^2}{12}+\cdots= -\frac{k^2\pi^2 h^2}{12}+\cdots$$

Vi noterar att felet är av ordningen $h^2$ (från trunkeringsfelet) och att felet ökar med $k^2$. Så, vi kan endast beräkna de minsta egenvärdena med ett litet fel. Vill vi approximera många egenvärden krävs ett litet $h$ vilket leder till en stor och gles matris, ty $n=1/h-1$.