Kurs-PM
MMG510-MVE160
Matematisk
modellering.
våren 2011
Program
for
examination.
Solutions to the earlier
examinations.
solutions to the examination on may25, 2011
solutions to the examination on june 1, 2011
(both appear after the last examination)
Exam from 2009
Exam from 2009
Exam from 2008
Exam from 2008
Exam from 2007
Exam from 2005
A detailed plan for the course in english
Kursen i
matematisk modellering innehåller följande huvudmoment:
- Modellering och
kvalitativ teori för ordinära differentialekvationer (ODE)
- Stokastiska modeller.
-
Generellt om matematisk modellering; dimentionanalys,
flera exempel på matematisk modellering i fysik, biologi, kemi.
-
Exempel av modellering med PDE och med Lattice
Boltzmann ekvationen
-
Ett matematiskt modelleringsprojekt.
Ordinära
differentialekvationer
Det är stösrta kapitlet av kursen som
består av en kortare
del med grundläggande begrepp och satser och en större del där vi skall
lära hur variation av parametrar i en ekvation påverkar kvalitativa
egenskaper hos dess lösningar. Huvudmoment är:
-
fasporträtt,
stabilitet
-
bifurkationer,
-
periodiska
lösningar
Stokastiska
modeller i fysik och biologi.
Generellt om matematisk modellering
Exempel på problem som vi studerar är
-
ickelinjära
oscillationer
-
deterministiska
och
stokastiska
modeller
för
kemiska reaktioner.
-
strömningsproblem,
-
dynamiken
hos
populationer,
Modeller med
partielladifferentialekvationer (PDE).
Modelleringsprojekt
En stor del av kursen består i att
utföra ett matematiskt modelleringsprojekt. Dessa skall utföras i
grupper om max tre personer.
I uppgiften ingår:
1) att analysera
problemet, 2) att göra en matematisk modell, 3) att finna en (vanligen
numerisk) metod, 4) att göra en omfattande numerisk undersökning av
modellen, 5) att genomföra analysisk och numerisk undersökning av
kvalitativa egenskaper hos modellen vid variation av parametrar, 6) och
att tolka resultaten.
Elever uppmanas att använda olika typer av matematiska
modeller: ODE, stokastiska processer, PDE för att maximalt utnyttja
kursens material.
Till sist skall allt detta presenteras
under ett seminarium i slutet av kursen, och en rapport skall skrivas.
Övriga deltagare i kursen förväntas delta aktivt i seminariet, med
frågor, kritik och beröm.
Grupperna kan själva hitta på problem
(men problemet måste i så fall godkännas av examinator redan under
läsvecka 2), eller välja något av nedanstående:
-
Modellera
flöde
i
kanal
med
en modell med diskreta hastigheter: Lattice Boltzmann
ekvationen
-
Modellera
skydd
för
en
kärnreaktor.
- Modellera trafikdynamik.
- Modellera AIDS spridning.
-
Modellera
kalciumvågor
i
celler
-
Modellera
ion-transport
genom
kanaler
i
cellmembraner.
-
Modellera
elastiska
membraner.
-
Modellera
temperaturen
i
en
sjö.
Hur lång tid tar det för den att frysa fullständigt? Hur lång tid tar
det för en bottenfrusen sjö, helt frysen droppe att tina upp?
Examination
Kursen examineras dels genom
projektredovisningen som ger 60% av poäng för kursen, och dels med en
mer traditionell tentamen som ger 40% av poäng för kursen.
Studenter får också två inlämningsuppgifter som varje ger 2 bonus poäng
till tentan.
-
Varje
grupp skall har under den sista läsveckan en 30 minuterslång
presentation av sitt projekt. Därefter skall kursdeltagarna ges chans
att ställa frågor och diskutera resultaten.
-
För att
diskussionen skall bli meningsfull, måste en preliminär
version av projektrapporten
finnas färdig i god tid innan redovisningen. Den slutgiltiga rapporten
skall lämnas senast måndagen efter tentamensperioden.
-
I slutet
av kursen kommer en skriftlig tentamen.
Kurslitteratur
-
Jag skall kopiera anteckningar efter förelsningar och
lämpliga texter från lämpliga böcker:
-
Arrowsmith D.K. , Place C.M.: Ordinary Differential
Equations. A
Qualitative Approach with Applications. Chapmann and Hall. (1982).
En av bästa böcker om detta ämne: tydlig, kort
av lagom
hög nivå
och med flera exempel som demonstrerar allmänna konstruktioner.
-
Nayfeh
A.H. Introduction to Asymptotic Methods.
Den
allra bästa lärobok i hur man kan undersöka hur lösningar till ordinära
differential ekvationer beror av små parametrar. Wiley & Sons.
1981. Boken visar en problemorienterad framställning av metoder.
-
Gillespie. D.T. A General Method for
Numerical simulating the stochastic time evolution of coupled chemical
reactions. J.Comp. Phys. 22, 403-434, (1976)
|