Kurs-PM
MMG510-MVE160 Matematisk modellering.
våren 2011

Program for examination.

Solutions to the earlier examinations.

solutions to the examination on may25, 2011
solutions to the examination on june 1, 2011
(both appear after the last examination)


Exam from 2009
Exam from 2009
Exam from 2008
Exam from 2008
Exam from 2007
Exam from 2005

A detailed plan for the course  in english 

Kursen i matematisk modellering innehåller följande huvudmoment:

• Modellering och kvalitativ teori för ordinära differentialekvationer (ODE)
• Stokastiska modeller.

• Generellt om matematisk modellering; dimentionanalys, flera exempel på matematisk modellering i fysik, biologi, kemi.

• Exempel av modellering med PDE och med Lattice Boltzmann ekvationen

• Ett matematiskt modelleringsprojekt.

Ordinära differentialekvationer

Det är stösrta kapitlet av kursen som består av en kortare del med grundläggande begrepp och satser och en större del där vi skall lära hur variation av parametrar i en ekvation påverkar kvalitativa egenskaper hos dess lösningar. Huvudmoment är:

• fasporträtt, stabilitet

• bifurkationer,

• periodiska lösningar

Stokastiska modeller i fysik och biologi.

• Olika typer av stokastiska modeller.

• Stokastiska approacher för att lösa olika (även deterministiska) problem.

Generellt om matematisk modellering
Exempel på problem som vi studerar är

• ickelinjära oscillationer

• deterministiska och stokastiska modeller för kemiska reaktioner.

• strömningsproblem,

• dynamiken hos populationer,

Modeller med partielladifferentialekvationer (PDE).

• Värmeledning och fasövergångar

• Flöden och transportprocesser.

Modelleringsprojekt

En stor del av kursen består i att utföra ett matematiskt modelleringsprojekt. Dessa skall utföras i grupper om max tre personer.

I uppgiften ingår:

1) att analysera problemet, 2) att göra en matematisk modell, 3) att finna en (vanligen numerisk) metod, 4) att göra en omfattande numerisk undersökning av modellen, 5) att genomföra analysisk och numerisk undersökning av kvalitativa egenskaper hos modellen vid variation av parametrar, 6) och att tolka resultaten.

Elever uppmanas att använda olika typer av matematiska modeller: ODE, stokastiska processer, PDE för att maximalt utnyttja kursens material.

Till sist skall allt detta presenteras under ett seminarium i slutet av kursen, och en rapport skall skrivas. Övriga deltagare i kursen förväntas delta aktivt i seminariet, med frågor, kritik och beröm.

Grupperna kan själva hitta på problem (men problemet måste i så fall godkännas av examinator redan under läsvecka 2), eller välja något av nedanstående:

• Modellera flöde i kanal med en modell med diskreta hastigheter: Lattice Boltzmann ekvationen
  

• Modellera skydd för en kärnreaktor.

• Modellera trafikdynamik.
• Modellera AIDS spridning.
  

• Modellera kalciumvågor i celler
  

• Modellera ion-transport genom kanaler i cellmembraner.

• Modellera elastiska membraner.

• Modellera temperaturen i en sjö.
  Hur lång tid tar det för den att frysa fullständigt? Hur lång tid tar det för en bottenfrusen sjö, helt frysen droppe att tina upp?

Examination

Kursen examineras dels genom projektredovisningen som ger 60% av poäng för kursen, och dels med en mer traditionell tentamen som ger 40% av poäng för kursen. Studenter får också två inlämningsuppgifter som varje ger 2 bonus poäng till tentan.

• Varje grupp skall har under den sista läsveckan en 30 minuterslång presentation av sitt projekt. Därefter skall kursdeltagarna ges chans att ställa frågor och diskutera resultaten.

• För att diskussionen skall bli meningsfull, måste en preliminär version av projektrapporten finnas färdig i god tid innan redovisningen. Den slutgiltiga rapporten skall lämnas senast måndagen efter tentamensperioden.

• I slutet av kursen kommer en skriftlig tentamen.
  

Kurslitteratur

• Jag skall kopiera anteckningar efter förelsningar och lämpliga texter från lämpliga böcker:

• Arrowsmith D.K. , Place C.M.: Ordinary Differential Equations. A Qualitative Approach with Applications. Chapmann and Hall. (1982).

  En av bästa böcker om detta ämne: tydlig, kort av lagom

  hög nivå och med flera exempel som demonstrerar allmänna konstruktioner.

• Nayfeh A.H. Introduction to Asymptotic Methods.

  Den allra bästa lärobok i hur man kan undersöka hur lösningar till ordinära differential ekvationer beror av små parametrar. Wiley & Sons. 1981. Boken visar en problemorienterad framställning av metoder.

• Gillespie. D.T. A General Method for Numerical simulating the stochastic time evolution of coupled chemical reactions. J.Comp. Phys. 22, 403-434, (1976)