Vad är viktigt?

Allmänt skall man naturligtvis kunna definiera och använda de begrepp som förekömmer i kursen!

Kapitel 1:

Reguljär kurva, båglängdsparametrisering.

Kapitel 2:

Krökning och torsion i båglängdsparametrisering och godtycklig parametrisering. Frenet-Serrets ekvationer. Thm 2.2.6 (2.1) och 2.3.6 (2.3): krökning och torsion bestämmer kurvan på ett väsentligt sätt.

Kapitel 3:

Fyrvertexsatsen (med bevis). Den isoperimetriska olikheten (med bevis, Wirtingers lemma får antas) .

Kapitel 4 och 5 (4):

Reguljär yta. Thm 5.1.1 (4.1) (med bevis): en nivå-yta f = 0 är reguljär om gradienten till är nollskild i varje punkt på ytan. En yta har lokalt en grafparametrisering. Differentierbar avbildning mellan reguljära ytor. Tangentplan. Prop 4.4.2 (4.4) (med bevis): tangentplanet är ett linjärt rum av dimension 2. Normalvektor. Orienterbarhet. Rotationsytor. Regelytor.

Kapitel 6 (5):

Första fundamentalformen. (Lokal) isometri. Konform avbildning.

Kapitel 7 och 8 (6 och 7):

Normalkrökning, geodetisk krökning. Normalsnitt. Principalkrökningar, samband med Weingartenmatrisen. Gaussavbildningen. Gausskrökning, medelkrökning. Navelpunkt. Asymptotisk linje, krökningslinje. Differentialekvationer för asymptotiska linjer och krökningslinjer.

Kapitel 9 (8):

Geodeter. En normalsnitt är geodet. Diffekvationen för geodeter. Lokala isometrier "bevarar" geodeter. Geodeter på en rotationsyta. Thm 9.4.1 (8.2) (med bevis): geodeter som ''kortaste'' avstånd.

Kapitel 10:

Theorema egregium: Gausskrökningen är en inre storhet. Christoffelsymbolerna, Codazzi-Mainardis ekvationer.

Kapitel 13 (11):

Gauss-Bonnets sats för kroklinjiga polygoner och för kompakta ytor.


Jan Stevens