Aktuella meddelanden
Välkommen till kursen! Schemat hittar du här.
Lärare
Kursansvarig och övningsledare: Elin Götmark, elin vid chalmers.se, rum L2118 i MV-huset.
Kurslitteratur
Analys i flera variabler, Persson/Böiers
+ tillhörande övningsbok.
Program
Föreläsningar
Dag Avsnitt
Innehåll
19/1
1.2-1.4
Rummet R^n. Avstånd. Triangelolikheten. Cauchy-Schwartz olikhet. Öppna/slutna mängder. Begränsade mängder. Analytisk beskrivning av mängder. Funktioner av flera variabler.
21/1
1.4-1.6
Forts funktioner av flera variabler. Vektorvärda funktioner. Kurvor och ytor. Koordinatbyten. Gränsvärden. Kontinuitet.
26/1
1.6-2.2
Forts kontinuitet. Partiella derivator. Differentierbarhet. Tangentplan.
28/1
2.3-2.6
Kedjeregeln. Riktningsderivata. Högre ordningens partiella derivator. Taylorutveckling och lokalt beteende hos en funktion.
2/2
2.6-3.1
Kriterier för lokala extremvärden. Tangenter till parametriserade kurvor. Normaler och tangentplan till parametriserade ytor.
4/2
3.2-3.4
Funktionalmatriser (totala derivatan) och linjär approximation. Funktionaldeterminanter (Jacobianer). Implicita och inversa funktionssatserna. Hur man i samband ser att en variabel är en funktion av övriga.
9/2
4.1-4.3
Optimering på kompakter. Optimering på icke-kompakter. Optimering med bivillkor.
11/2
6.1-6.3
Dubbelintegraler och deras Riemannsummor.
16/2
6.4-6.5
Variabelsubstitution. Integration med nivåkurvor.
18/2
6.6-7.2
Generaliserade dubbelintegraler. Trippel- och multipelintegraler.
23/2
8.1-8.2, 8.4
Volymberäkningar och area av buktiga ytor, ytintegraler. Masscentrum och integralen som medelvärde.
25/2
9.1-9.3
Kurvintegraler i planet. Greens formel.
2/3
9.4-10.1
Potentialer och exakta differentialformer (konservativa vektorfält). Kurv- och ytintgraler.
4/3
10.2-10.3
Divergens och rotation av vektorfält. Gauss och Stokes satser.
9/3

Repetition/reserv
11/3

Gamla tentamensproblem.


Rekommenderade övningsuppgifter
Dag Uppgifter
20/1
1.1,1.2abd,1.3,1.4,1.6–1.8,1.9ab, 1.10, 1.11,1.12,1.14c,1.18
23/1
1.20bc,1.23, 1.24a–d, 1.25ab,1.27abc,1.29abc
27/1
2.1a–d,2.2a,2.4,2.5,2.6a,2.8ab,2.11,2.12
30/1
2.13, 2.15,2.18,2.20,2.28ab,2.30,2.40,2.42, 2.43,2.50,2.51,2.56,2.60,2.62.
3/2
2.63,2.64,2.65abc,2.66,2.68d,2.70,3.1abc,3.2abc,3.3,3.6.
6/2
3.9abc,3.10ac,3.12,3.16,3.28,3.30,3.32.
10/2
4.1,4.2,4.4,4.7,4.10,4.13, 4.14,4.16,4.18,4.19,4.23,4.24,4.28,4.33.
13/2
6.1,6.3,6.4,6.6,6.10,6.11,6.15.
17/2
6.18,6.20,6.26,6.30,6.32.
20/2
6.33,6.34,6.37,6.38,7.1,7.2,7.4,7.11,7.16.
24/2
8.1,8.4,8.11,8.14,8.15,8.20,8.28,8.31.
27/2
9.1,9.2,9.4,9.5,9.7,9.10,9.11,9.18,9.20,9.21,9.23.
3/3
9.29,9.35,9.36,10.1,10.4,10.7,10.8,10.11.
6/3
10.16,10.19,10.20, 10.26,10.52,10.54.
10/3
Repetition
13/3
Repetition

Datorlaborationer
Inga datorlaborationer ingår i kursen för fysikstudenterna som läser MMGF20.

Datorlaborationer för lärarstudenterna i LGMA50:
Laboration 1 och 3 har ni i algebra/talteori med Samuel; laboration 2 och 4 har ni med mig i flervariabelanalys (se schemat för tider). Här är laboration 2, och här är laboration 4. Förbered er genom att läsa igenom labben. Ni kan också gärna göra papper-och-penna delarna av labben i förväg, så sparar ni tid i datorsalen. Eller så kan ni förstås göra hela labben i förväg om ni vill. Ni redovisar muntligt för mig vid labbtillfället, och ni kan jobba antingen själva eller två och två.

Obs att laborationerna är ett obligatoriskt moment, så ni måste göra dem för att få godkänt på LGMA50 som helhet.

Referenslitteratur:
  1. Material (utvecklat av MV) som ger en kortfattad introduktion till Matlab
  2. Holly More, MATLAB for Engineers
    Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier.
  3. Per Jönsson, MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap
    Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.
Kurskrav
Kursens mål finns angivna i kursplanen.

Följande avsnitt i boken ingår: 1.2-1.6, 2.1-2.6 (utom felanalys i 2.2, och "kompletterande teori" sist i 2.6), 3.1-3.4, 4.1-4.3, 6.1-6.6 (men inte så stor tyngd på 6.3), 7.1-7.2 (men inte så stor tyngd på 7.2), 8.1-8.2, 8.4, 9.1-9.4, 10.1-10.3.

Du ska kunna alla definitioner i avsnitten ovan, och kunna använda de satser som ingår i avsnitten ovan. Du ska kunna bevisa följande satser:
Kapitel 2: Sats 1,2,5,6,7,11
Kapitel 9: Sats 2,4,5

Här är en sammanfattning av vad ni ska kunna (förutom satserna/definitionerna ovan):

Kapitel 1:
- rita upp mängder i n\mathbb{R}^n från deras analytiska beskrivning, och tvärtom
- växla mellan att se kurvor som nivåkurvor och parametriserade kurvor (och grafer om det går)
- växla mellan att se ytor som nivåytor och parametriserade ytor (och grafer om det går)
- rita upp nivåkurvor till en yta som ett verktyg för att förstå ytans utseende
- räkna ut gränsvärden, om de existerar, genom att använda 1) standardgränsvärden från envariabel, 2) instängningsregeln och 3) koordinatbyten
- visa att gränsvärden inte existerar genom att gå i gräns längs olika vägar
- avgöra om en funktion är kontinuerlig

Kapitel 2:
- derivera funktioner partiellt
- avgöra om funktioner är differentierbara eller inte
- räkna ut tangentplanet till en yta
- använda kedjeregeln i flera variabler
- räkna ut gradienter och riktningsderivator
- använda gradientens geometriska kopplingar till 1) nivåkurvor/nivåytor och 2) den riktning i vilken en funktion växer mest
- beräkna och använda partiella derivator av högre ordningar
- lösa vissa partiella differentialekvationer genom att reducera dem till envariabelfallet med hjälp av ett variabelbyte
- göra Taylorutvecklingar av andra ordningen av funktioner av flera variabler
- klassificera kvadratiska former
- hitta lokala extrempunkter till funktioner av flera variabler

Kapitel 3:
- beräkna tangentvektor och tangentlinje till parametriserade kurvor
- beräkna tangentplan till parametriserade ytor
- beräkna funktionalmatriser och funktionaldeterminanter till vektorvärda funktioner
- se funktionaldeterminanter som linjäriseringar och funktionaldeterminanter som lokal areaförstoring
- använda kedjeregeln formulerad med hjälp av funktionalmatriser
- använda sambandet det((f-1))=1/det(f)\det((f^{-1})') = 1/\det(f')
- använda implicita funktionssatsen för att se när en nivåkurva/nivåyta kan skrivas som en graf med avseende på olika variabler
- använda implicit derivering

Kapitel 4:
- optimera på kompakta områden
- optimera på icke-kompakta områden
- optimera funktioner med ett bivillkor med hjälp av Lagranges multiplikatormetod

Kapitel 6:
- integrera dubbelintegraler genom att se dem som upprepade enkelintegraler
- byta variabel i dubbelintegraler
- räkna ut dubbelintegraler genom att integrera med hjälp av nivåkurvor
- räkna ut generaliserade dubbelintegraler med positiv integrand genom att skriva dem som upprepade (generaliserade) enkelintegraler
- avgöra genom uppskattningar om generaliserade dubbelintegraler med svårare integrand är konvergenta eller divergenta

Kapitel 7:
- räkna ut trippelintegraler
- byta variabel i trippelintegraler

Kapitel 8:
- räkna ut volymen av kroppar i 3\mathbb{R}^3
- räkna ut arean av ytor i 3\mathbb{R}^3

- räkna ut masscentrum av en kropp

Kapitel 9:
- beräkna arbetet som uträttas av ett vektorfält när en partikel förflyttas längs en kurva
- använda Greens formel
- beräkna flödet av ett vektorfält ut från ett område i planet
- avgöra om ett vektorfält är konservativt på ett område, och ta fram dess potential
- räkna ut kurvintegralen över ett konservativt vektorfält med hjälp av potentialen (sats 9.2)

Kapitel 10:
- räkna ut flödet av ett vektorfält ut genom en yta
- använda Gauss sats
- använda Stokes sats
Duggor
Under kursens gång ges tre icke-obligatoriska tester ("duggor") i det elektroniska examinationsverktyget Maple TA. De består vardera av flera uppgifter och är tillgängliga under en vecka. Bonuspoäng från duggorna kan bara användas för att uppnå godkänt resultat och inte för betyget väl godkänd. Bonuspoängen från duggorna är giltig fram till och med omtentamenstillfället i augusti 2015.

Om ni vill så kan ni istället lämna in två av uppgifterna på duggan skriftligt. I så fall bedömer jag både matematiken och hur ni presenterar lösningen skriftligt. Jag vill att ni motiverar era svar, presenterar lösningen på ett pedagogiskt sätt, använder fullständiga meningar och inkluderar formler i meningar på det sätt som boken gör. Se detta som en möjlighet att få feedback på hur ni skriver - när ni skriver ett exjobb måste ni ändå lära er detta. Det är också nyttigt inför tentan att öva på att presentera lösningar. Ni kan skriva för hand och lämna in, eller skriva på dator och maila till mig, senast när tiden för duggan löper ut. Om ni vill vara säkra på att få full bonus kan ni förstås både göra duggan i Maple TA (där ni kan se om ni har klarat den) och lämna in skriftligt, men ni kan inte få mer än en bonuspoäng på uppgiften totalt. Här är ett exempel på hur en renskriven lösning kan se ut.

Dugga 1a och 1b (gör båda två!) ligger ute från 28/1 kl 13.00 till 4/2 kl 13.00. (OBS: tiden är förlängd till 6/2 kl 17, och ni behöver inte göra dugga 1a pga strul med Java i Maple TA.)
Dugga 2 ligger ute från 9/2 kl 13.00 till 16/2 kl 13.00.
Dugga 3 ligger ute från 2/3 kl 13.00 till 9/3 kl 13.00.

Skriftlig inlämning:
Från dugga 1b ska du lämna in uppgift 4 och 6.
Från dugga 2 ska du lämna in uppgift 4 och 7.
Från dugga 3 ska du lämna in uppgift 4 och 8.

Inloggning till MapleTA:

MapleTA

Du måste vara registrerad på kursen för att kunna logga in. Har du glömt din login kan du gå till inloggningen och skriva in den e-postadress du har i GUL och klicka på "Forgot your password?". Då får du en ny uppgifter med mail till adressen.

När du vill logga ut ska du klicka på "Quit & Save". Då sparas det du fyllt i. När du känner dig färdig med ett test klickar du på "Grade" och testet rättas och bokförs. Om du av nån anledning vill ha ett nytt test kan du också använda "Grade". Nästa gång du öppnar testet ser det annorlunda ut.

För varje uppgift på duggan (utom dugga 1a) gäller att du kan kontrollera ditt svar genom att i uppgiften klicka på länken HOW DID I DO?.

Du behöver inte vara inloggad hela tiden. Om du vill logga ut under tiden duggan pågår klickar du på Quit & Save. När du loggar in igen och öppnar duggan har du då kvar ditt exemplar. Högst upp till höger på duggan kan du se den tid som är kvar.

För att rätta duggan klickar du på Grade. Du måste ha alla rätt för att duggan ska bli godkänd. Rekommendationen är att arbeta med samma dugga hela tiden och inte klicka på GRADE förrän man har klarat alla uppgifter.

På den sida i Maple TA där du öppnar duggan finns länken GRADEBOOK längst upp till vänster. Om du klickar där kan du se dina registrerade resultat.

Generellt gäller att du ska skriva dina svar som på en miniräknare.

Tänk på att

I de flesta uppgifter finns en länk PREVIEW. Använd den för att se att Maple TA uppfattar det du skrivit korrekt. (Den fungerar inte i alla uppgifter!)

Du ska ha java aktiverat i din webbläsare och se till att det är uppdaterat. Du kan kolla det på http://www.java.com/en/download/installed.jsp

Examination

Ordinarie tentamen äger rum tisdagen den 17 mars 2015 kl 14-18. Vid tentamen är inga hjälpmedel tillåtna. Tentan kommer att bestå av 8 uppgifter, varav 1-2 är teoriuppgifter.

Bonuspoäng från duggor kan bara användas för att uppnå godkänt resultat och inte för betyget väl godkänd. 

För betyget godkänt krävs att man vid tentamensskrivningen får minst 12 poäng (av 25 möjliga) inklusive eventuell bonus. För väl godkänt krävs minst 18 poäng (utan bonus).

Rutiner kring tentamina
I tentamensscheman anges alla tentor för respektive period.
Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation.
Du kan läsa i Chalmers studentportal om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers, men observera att du som går på GU ska anmäla dig till tentan via GU:s studentportal.

För att se ditt resultat gå till Ladok via inloggning i Studentportalen (GU).

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, måndag till fredag, kl 9.00-13.00. Kontrollera att du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, måndag till fredag, kl 9.00-13.00. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.
Kursutvärdering
I början av kursen bör minst två studentrepresentanter utses för att tillsammans med lärarna genomföra kursutvärderingen. På kursens aktivitet i GUL (inloggning via Studentportalen) finns en enkät som används vid utvärderingen. Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs på speciell blankett.  
Gamla tentor
Här är den ordinarie tentan, med lösningar.
Här är första omtentan, med lösningar.
Här är andra omtentan, med lösningar

Förra årets tentor:
Tenta 2014-03-14 med lösningar.
Tenta 2014-06-09 med lösningar.
Tenta 2014-08-26 med lösningar.

För tidigare års tentor, se längst ner på 2013 års kurshemsida.