MMGF20, Flervariabelanalys, Våren 18

Aktuella meddelanden

Välkomna till kursen! Kursens schema finns i TimeEdit.

Lärare

Kurslitteratur

Persson och Böiers: Analys i flera variabler + tillhörande övningsbok.

Program

Föreläsningar

Rekommenderade övningsuppgifter

Studieresurser

• Den viktigaste resursen är lärarna på kursen. Använd undervisningstiden till att fråga lärarna, speciellt på räkneövningarna. Ställa frågor via e-post är inte alls lika effektivt och lärare har inte alltid tid att besvara utan hänvisar hellre till räkneövningar.
• Mattesupporten är öppen för alla som studerar på Chalmers eller på Naturvetenskapliga fakulteten vid Göteborgs universitet.
• För dig som studerar på Göteborgs universitet och har behov av extra stöd för funktionsnedsättning – se information på GU samt rutinerna vid institutionen.

Datorlaborationer och övningar med Matlab

Inga datorlaborationer ingår i kursen för studenter som läser MMGF20.

Datorlaborationer för lärarstudenterna i LGMA50:
Laboration 2 och 3 har ni i algebra/talteoridelen av kursen; laboration 1 och 4 har ni med mig i flervariabelanalys (se schemat för tider). Här är laboration 1, och här är laboration 4. Ni redovisar muntligt för mig vid labbtillfället. Förbered er genom att börja göra labben i förväg, så att alla hinner redovisa i labsalen. Jobba helst två och två, men det går bra att redovisa själv också.

Obs att laborationerna är ett obligatoriskt moment, så ni måste göra dem för att få godkänt på LGMA50 som helhet.

Kurskrav

Kursens lärandemål finns angivna i kursplanen.

Följande avsnitt i boken ingår: 1.2-1.6, 2.1-2.6 (utom felanalys i 2.2, och "kompletterande teori" sist i 2.6), 3.1-3.4, 4.1-4.3, 6.1-6.6 (men inte så stor tyngd på 6.3), 7.1-7.2 (men inte så stor tyngd på 7.2), 8.1-8.2, 8.4, 9.1-9.4, 10.1-10.3.

Du ska kunna alla definitioner i avsnitten ovan, och kunna använda de satser som ingår i avsnitten ovan. Du ska kunna bevisa följande satser:
Kapitel 2: Sats 1,2,5,6,7,11
Kapitel 9: Sats 2,4,5

Här är en sammanfattning av vad ni ska kunna (förutom satserna/definitionerna ovan):

Kapitel 1:
- rita upp mängder i $\mathbb{R}^n$ från deras analytiska beskrivning, och tvärtom
- växla mellan att se kurvor som nivåkurvor och parametriserade kurvor (och grafer om det går)
- växla mellan att se ytor som nivåytor och parametriserade ytor (och grafer om det går)
- rita upp nivåkurvor till en yta som ett verktyg för att förstå ytans utseende
- räkna ut gränsvärden, om de existerar, genom att använda 1) standardgränsvärden från envariabel, 2) instängningsregeln och 3) koordinatbyten
- visa att gränsvärden inte existerar genom att gå i gräns längs olika vägar
- avgöra om en funktion är kontinuerlig

Kapitel 2:
- derivera funktioner partiellt
- avgöra om funktioner är differentierbara eller inte
- räkna ut tangentplanet till en yta
- använda kedjeregeln i flera variabler
- räkna ut gradienter och riktningsderivator
- använda gradientens geometriska kopplingar till 1) nivåkurvor/nivåytor och 2) den riktning i vilken en funktion växer mest
- beräkna och använda partiella derivator av högre ordningar
- lösa vissa partiella differentialekvationer genom att reducera dem till envariabelfallet med hjälp av ett variabelbyte
- göra Taylorutvecklingar av andra ordningen av funktioner av flera variabler
- klassificera kvadratiska former
- hitta lokala extrempunkter till funktioner av flera variabler

Kapitel 3:
- beräkna tangentvektor och tangentlinje till parametriserade kurvor
- beräkna tangentplan till parametriserade ytor
- beräkna funktionalmatriser och funktionaldeterminanter till vektorvärda funktioner
- se funktionaldeterminanter som linjäriseringar och funktionaldeterminanter som lokal areaförstoring
- använda kedjeregeln formulerad med hjälp av funktionalmatriser
- använda sambandet $\det((f^{-1})') = 1/\det(f')$
- använda implicita funktionssatsen för att se när en nivåkurva/nivåyta kan skrivas som en graf med avseende på olika variabler
- använda implicit derivering

Kapitel 4:
- optimera på kompakta områden
- optimera på icke-kompakta områden
- optimera funktioner med ett bivillkor med hjälp av Lagranges multiplikatormetod

Kapitel 6:
- integrera dubbelintegraler genom att se dem som upprepade enkelintegraler
- byta variabel i dubbelintegraler
- räkna ut dubbelintegraler genom att integrera med hjälp av nivåkurvor
- räkna ut generaliserade dubbelintegraler med positiv integrand genom att skriva dem som upprepade (generaliserade) enkelintegraler
- avgöra genom uppskattningar om generaliserade dubbelintegraler med svårare integrand är konvergenta eller divergenta

Kapitel 7:
- räkna ut trippelintegraler
- byta variabel i trippelintegraler

Kapitel 8:
- räkna ut volymen av kroppar i $\mathbb{R}^3$
- räkna ut arean av ytor i $\mathbb{R}^3$
- räkna ut masscentrum av en kropp

Kapitel 9:
- beräkna arbetet som uträttas av ett vektorfält när en partikel förflyttas längs en kurva
- använda Greens formel
- beräkna flödet av ett vektorfält ut från ett område i planet
- avgöra om ett vektorfält är konservativt på ett område, och ta fram dess potential
- räkna ut kurvintegralen över ett konservativt vektorfält med hjälp av potentialen (sats 9.2)

Kapitel 10:
- räkna ut flödet av ett vektorfält ut genom en yta
- använda Gauss sats
- använda Stokes sats

Duggor

Under kursens gång ges tre icke-obligatoriska tester ("duggor") i det elektroniska examinationsverktyget Maple TA. De är tillgängliga under en vecka, och du kan få ett bonuspoäng till tentan för varje dugga. Bonuspoäng från duggorna kan bara användas för att uppnå godkänt resultat och inte för betyget väl godkänd, och är giltiga på den ordinarie tentan och de två omtentorna efter den.

Dugga 1a och 1b (gör båda två!) ligger ute från 24/1 kl 13 till 31/1 kl 13.
Dugga 2 ligger ute från 5/2 kl 13 till 14/2 kl 24.
Dugga 3 ligger ute från 26/2 kl 13 till 7/3 kl 24.

Du loggar in till MapleTA via GUL-sidan, där duggorna dyker upp under "Content".

Du måste vara registrerad på kursen för att kunna logga in. Har du glömt din login kan du gå till inloggningen och skriva in den e-postadress du har i GUL och klicka på "Forgot your password?". Då får du ett nytt lösenord via mail. När du vill logga ut ska du klicka på "Quit & Save". Då sparas det du fyllt i, och när du loggar in igen och öppnar duggan har du då kvar ditt exemplar. För varje uppgift på duggan (utom dugga 1a) kan du kontrollera ditt svar genom att i uppgiften klicka på länken HOW DID I DO?. När du känner dig färdig med ett test klickar du på "Grade" och testet rättas och bokförs. Om du av någon anledning vill ha ett nytt test kan du också använda "Grade". Nästa gång du öppnar testet ser det annorlunda ut. På den sida i Maple TA där du öppnar duggan finns länken GRADEBOOK längst upp till vänster. Om du klickar där kan du se dina registrerade resultat.

Du måste ha alla rätt för att få en hel bonuspoäng, däremot kan du få en halv poäng om du gjort 60% av duggan. 

Generellt ska du skriva dina svar som på en miniräknare för att det ska bli rätt syntax. Tänk på att

• skriva multiplikation med * : skriv t.ex. x*y och inte xy.
  
• skriva kvadratrötter med sqrt: skriv t.ex. roten ur två som sqrt(2) .
• inte skriva decimaltal (som i så fall skulle skrivits med decimalPUNKT): skriv t.ex. 1/8 och inte 0.125 .
• i svar ska potenser av heltal som går att räkna ut exakt vara beräknade: skriv t.ex.  91 och inte 3⁴ (om inget annat framgår av uppgiften).
• skriva e^x som exp(x).
  

Funkar det inte på din egen dator kan du alltid mata in svaren i en dator i institutionens datasalar.

Examination

Ordinarie tentamen äger rum tisdag 13/3 kl 14-18. Första omtentan är fredagen 8/6 kl 14-18. Vid tentamen är inga hjälpmedel tillåtna. Tentan kommer att bestå av 8 uppgifter, varav 1-2 är teoriuppgifter. Bonuspoäng från duggor kan bara användas för att uppnå godkänt resultat och inte för betyget väl godkänd. Bonuspoängen gäller på ordinarie tenta och på de två omtentorna därefter. För betyget godkänt krävs att man vid tentamensskrivningen får minst 12 poäng (av 25 möjliga) inklusive eventuell bonus. För väl godkänt krävs minst 18 poäng (utan bonus).

Rutiner kring tentamina

I tentamensscheman anges alla tentor för respektive period. Du kan läsa i Chalmers studentportal om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers, men observera att du som går på GU ska anmäla dig till tentan via GU:s studentportal, där du även kan läsa om regler för examination vid GU.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation.

Du kan själv gå in i Ladok, via inloggning i Studentportalen (GU), för att se dina resultat.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Kursutvärdering

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter utses för att tillsammans med lärarna genomföra kursutvärderingen. På kursens aktivitet i GUL finns en enkät (kräver inloggning i GUL) som används vid utvärderingen. Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs på speciell blankett.

Gamla tentor

Tenta 2018-08-28 med lösningar.
Tenta 2018-06-08 med lösningar.
Tenta 2018-03-13 med lösningar.

Tenta 2017-08-22 med lösningar.
Tenta 2017-06-09 med lösningar.
Tenta 2017-03-14 med lösningar.

Tenta 2016-08-23 med lösningar.
Tenta 2016-06-10 med lösningar.
Tenta 2016-03-15 med lösningar.

Tenta 2015-08-25 med lösningar.
Tenta 2015-06-08 med lösningar.
Tenta 2015-03-17 med lösningar.

Tenta 2014-08-26 med lösningar.
Tenta 2014-06-09 med lösningar.
Tenta 2014-03-14 med lösningar.