Göteborgs universitet
Matematik/TW

MMGL32, Flervariabelanalys. Läsanvisningar

Kapitel 1

1.1

Introducerar funktioner av flera variabler med ett antal exempel. Vi skall studera funktioner Rⁿ → R^p i ett antal fall; linjära sådana avbildningar har vi redan mött i Linjär algebra.
Vanligaste fallen är:

p = 1: reellvärda funktioner; n i princip godtyckligt, men vi koncentrerar oss på n = 2 och ibland 3. Det stora steget är från n = 1 till n = 2; från n = 2 till större n är inte principiellt annorlunda.
n = 1, p > 1: kurvor i planet (p = 2), rummet (p = 3) eller i högre-dimensionella rum.
n = p = 2 eller 3: variabelbyten eller vektorfält i planet eller rummet.
n = 2, p = 3: yta i rummet.

1.2

Rummet Rⁿ, bekant från Linjär algebra.

1.3

Topologiska grundbegrepp:

inre, yttre punkt, randpunkt
öppen, sluten, begränsad, kompakt mängd
(öppet) klot B(a, r) = {x: |x – a| < r} (n-dim)
slutet klot B(a, r) = {x: |x – a| ≤ r} (n-dim)
sfär S(a, r) = {x: |x – a| = r} ((n–1)-dim)

1.4

Handlar mycket om grafiska framställningar.
För funktioner R² → R kan vi rita funktionsytan och nivåkurvor.
För funktioner R³ → R kan vi rita nivåytor.
För kurvor R → R² eller R → R³ ritar man vanligen värdemängden, ofta med en pil som anger växande parametervärden.
Andragradskurvorna bör man känna till. Ellips finns i Ex. 2 och 17, hyperbel och parabel på s. 25–26. Andragradsytor finns på s. 29–30. Studera alla bilder och exempel i avsnittet för att öva ditt tredimensionella seende.
Polära och rymdpolära koordinater är mycket användbara, dels i situationer med sfärisk symmetri, dels i samband med gränsvärden då en punkt närmar sig origo (eller går mot ∞), eftersom detta uttrycks av att den enda variabeln r → 0 (resp. ∞).
I Ex. 22 svarar området x > 0 mot hela uv-planet utom den icke-positiva u-axeln (ty v = 0 ⇒ y = 0 ⇒ u > 0).

1.5

Gränsvärdesdefinitionen är identisk med den för envariabelfallet, men situationen är mer komplicerad eftersom man i det fallet endast kan närma sig en punkt från vänster eller höger, medan man här har alla riktningar samtidigt; Ex. 25 visar att det inte räcker att bara gå längs axlarna, medan Ex. 26 visar att det inte ens räcker att gå längs godtyckliga räta linjer.

1.6

Kontinuerliga funktioner definieras analogt med envariabelfallet och samma sats (Sats 4) om existensen av största och minsta värde på kompakt mängd gäller även här.

Kapitel 2

2.1

Partiella derivator fungerar likadant som "vanliga" derivator eftersom man bara varierar en variabel i taget; det nya är att man har en förstaderivata för varje variabel, men metoderna för att beräkna dem är desamma som förut. I Ex. 6 ser vi att en funktion av flera variabler kan vara deriverbar utan att vara kontinuerlig.

2.2

Därför inför man begreppet differentierbarhet, som är den "rätta" generaliseringen till flera variabler av begreppet deriverbarhet i en variabel. Det handlar om att funktionen lokalt skall gå att approximera med ett förstagradspolynom (linearisering). Geometriskt (i fallet R² → R) betyder det att funktionsytan ligger nära sitt tangentplan. Sats 1 visar det enkla resultatet att varje differentierbar funktion är kontinuerlig.
Hur vet man då om en funktion är differentierbar? Att använda definitionen för detta är ganska otympligt, men Sats 3 visar att om en funktion är C¹ (dvs. kontinuerligt deriverbar, dvs. alla partiella förstaderivator är kontinuerliga) så är den differentierbar, och vi vet redan att alla våra vanliga funktioner är C¹. Beviset av Sats 3 använder differentialkalkylens medelvärdessats sedan man delat upp funktionsdifferensen i axelparallella delar. (För den riktning man använder sist räcker det att använda derivatans definition, så man behöver faktiskt inte att den partiella derivatan i denna riktning är kontinuerlig, men detta har oftast ingen betydelse.)

2.3

I beviset av kedjeregeln ser man hur användbar differentierbarhetsegenskapen är; först visas fallet R → Rⁿ → R (beviset skrivs i fallet n = 2 men är i princip allmänt; väsentligen samma bevis med något annorlunda notation ges på föreläsning). Fallet R^q → Rⁿ → R följer direkt eftersom endast en i taget av de q variablerna används vid derivering. Den allmänna formuleringen, R^q → Rⁿ → R^p, kommer i avsnitt 3.2 och använder funktionalmatriser, som har en rad för varje komponentfunktion i en vektorvärd funktion och en kolonn för varje variabel; elementet på plats (j, k) är derivatan av komponentfunktionen f_j med avseende på variabeln x_k;
f = (f₁, f₂, ..., f_p): Rⁿ → R^p, x = (x₁, x₂, ..., x_n).

2.4

De partiella derivatorna av en reellvärd funktion kan sammanföras till en vektor, gradienten, som kan användas för att skriva kedjeregeln med hjälp av skalärprodukt eller matrismultiplikation och som har viktiga geometriska tolkningar. Först definieras riktningsderivatan längs en godtycklig enhetsvektor v (de partiella derivatorna är specialfall) och den visas för differentierbara funktioner vara helt enkelt skalärprodukten av v med gradienten. Det följer att riktningsderivatan är maximal i gradientens riktning och att detta största värde är gradientens belopp. Ur kedjeregeln följer även att gradienten är vinkelrät mot nivåkurvor resp. nivåytor för funktioner av två resp. flera variabler.

2.5

Högre derivator kommer vi inte att använda så ofta, men man bör veta att "blandade" andraderivator är lika om de är kontinuerliga (Sats 2.9, beviset ingår inte) vilket därför gäller alla våra vanliga funktioner. En motsvarande sats gäller förstås för derivator av högre ordningar.

2.6

Taylors formel – vi nöjer oss med två variabler och ordning 2 – härleds ur Maclaurins formel för en variabel och ger det andragradspolynom som bäst approximerar en C³-funktion i närheten av en punkt. Taylors formel kan uttryckas Δf = df + ½d²f + R₃, där differensen Δf = f(a+h, b+k) – f(a, b) skrivs som summan av differentialen df som är ett förstagradsuttryck bestämt av f:s förstaderivator i (a, b), hälften av dess andradifferential d²f som är ett andragradsuttryck bestämt av f:s andraderivator i (a, b) och en restterm som man kan tänka på som termer av högre gradtal.
Def. 7 angående lokala extrempunkter och Sats 11 s. 99–100 ("Extrem ⇒ kritisk") är precis som i envariabelteorin. En punkt där alla partiella derivator är 0 kallas kritisk eller stationär. I en sådan punkt är alltså df = 0. d²f bestämmer dess karaktär i tre fall:

om d²f är positivt definit så är Δf > 0 för små (h, k) ≠ (0, 0) så (a, b) är ett lokalt minimum
om d²f är negativt definit så är Δf < 0 för små (h, k) ≠ (0, 0) så (a, b) är ett lokalt maximum
om d²f är indefinit så finns godtyckligt små (h, k) med Δf > 0 och godtyckligt små (h, k) med Δf < 0 så (a, b) är en sadelpunkt

Annars är d²f positivt eller negativt semidefinit och hänsyn måste tas till R₃ – ofta går man tillbaka till funktionen själv.

2.7

Inför beteckningen df och påpekar (igen) att differentierbarhet innebär att differensen Δf approximeras väl av df. Se fig. s. 115, väsentligen en upprepning av fig. s. 55.

Kapitel 3

3.1: Först här motiveras att x'(t) är tangentvektor till kurvan x = x(t), vilket redan använts i 2.4.
För ytor r = r(s, t) i R³ får vi direkt två tangentvektorer r'_s och r'_t och deras kryssprodukt r'_s × r'_t är därför normalvektor till ytan(s tangentplan) (förutsatt att den är ≠ 0).
3.2: Redan nämnt i samband med 2.3.
3.3: För linjära avbildningar Rⁿ → Rⁿ ger determinantens belopp volymskalan; därför ger beloppet av funktionaldeterminanten för en differentierbar funktion Rⁿ → Rⁿ den lokala volymskalan (som i allmänhet varierar från punkt till punkt). Detta används vid variabelbyte i multipelintegraler. (Determinantens tecken visar huruvida avbildningen är orienteringsbevarande, men det behöver vi inte bry oss om.)
I Sats 1 s. 141 visas att en sammansatt funktions funktionaldeterminant är produkten av de ingående funktionernas funktionaldeterminanter, vilket följer ur produktsatsen för determinanter tillsammans med kedjeregeln som ju säger att sammansättningens funktionalmatris är produkten av de ingående funktionernas funktionalmatriser. Det påpekas särskilt att för en omvändbar funktion innebär detta att inversens funktionaldeterminant är det inverterade värdet av funktionens funktionaldeterminant, vilket innebär att man kan beräkna inversens funktionaldeterminant utan att beräkna inversen, vilket ibland kan vara besvärligt.
Vad boken inte påpekar är det allmännare resultatet att inversens funktionalmatris är funktionalmatrisens invers, vilket ger ett sätt att beräkna inversens alla partiella förstaderivator utan att beräkna inversen.

Kapitel 4

4.1: För kontinuerliga funktioner på kompakta mängder finns både största och minsta värde enligt Sats 1.4 (vidare antas alla värden dememellan om mängden är vägvis sammanhängande, Sats 1.6, men den har vi inte tagit upp). Envariabelteorin ger (Sats 2.11 s.99–100) att dessa måste sökas i stationära punkter i det inre eller på randen. Den senare kan undersökas via en parametrisering eller med metoden i 4.3, medan de förra utgörs av lösningsmängden till ∇f = 0. Detta är i allmänhet ett icke-linjärt ekvationssystem, så inga generella alltid framgångsrika metoder finns för att lösa dem, men kom t.ex. ihåg att en produkt är 0 omm någon av faktorerna är 0; ofta kan det finnas en faktorisering av vänsterledet. Minns också att systemet f_x' = 0 = f_y' inte är ekvivalent med den enda ekvationen f_x' = f_y', ett alltför vanligt fel.
4.2: På icke kompakta mängder finns ingen garanti för existens av extremvärden, men om man kan kontrollera funktionens beteende då man närmar sig dess rand (eller går mot ∞) så får man igen att det är de stationära punkterna som är intressanta.
4.3: Ett bivillkor (som t.ex. ger randen till ett område som i 4.1) ges ofta av att en viss funktion skall vara konstant; vi vet redan från 2.4 att dess gradient är vinkelrät mot denna nivåkurva/nivåyta och om målfunktionen har extrempunkt någonstans på den, så är även dess gradient vinkelrät mot den, vilket följer av kedjeregeln (se bevis av sats 1 s. 172–173). Målfunktionens gradient och bivillkorsfunktionens gradient är alltså linjärt beroende, vilket ger ekvation(er) som extrempunkternas koordinater måste uppfylla, vilket kan formuleras på olika sätt, med Lagrangemultiplikator(er) eller determinant(er). Analogt villkor gäller vid flera bivillkor (Sats 2).

Kapitel 6

6.1: Dubbelintegral av en reellvärd funktion över en axelparallell rektangel definieras via undre och övre trappfunktioner, vars integraler helt enkelt är summor av volymer – med tecken – av rätblock och även kallas under- resp. översumma till funktionen på rektangeln. Funktionen är integrerbar om dessa kan göras godtyckligt nära varandra genom att göra indelningen av rektangeln tillräckligt fin, och ett grundläggande resultat är att kontinuerliga funktioner är integrerbara och att dubbelintegralen kan beräknas medelst itererad enkelintegration.
6.2: För ett godtyckligt begränsat område gör man tricket att omskriva det med en axelparallell rektangel och utvidga funktionen med värdet 0 i de punkter som ligger utanför det givna området och sedan använda definitionen i 6.1. För y-enkla områden och kontinuerliga integrander kan man sedan beräkna dubbelintegralen med itererad enkelintegration (Sats 4) och det finns förstås en analog sats för x-enkla områden (formel (20), x först). Tag för vana att alltid rita upp integrationsområdet och se till att du är säker på att ställa upp ekvationer för dess begränsningskurvor (ofta räta linjer!). Ibland måste man dela upp i flera integraler p.g.a. att man har olika funktionsuttryck för olika delar av området. Se Ex. 5–7.
6.3: Används för att motivera resonemangen i nästa avsnitt, men vi tar inte upp det i detalj. Figuren s. 258 är en geometrisk motivering till areaförändringen från polära koordinater till kartesiska, som vi redan vet från 3.3 är funktionaldeterminanten.
6.4: Här ges framför allt ett antal exempel på variabelbyte i dubbelintegral. Glöm inte funktionaldeterminanten! Ibland får man den åt "fel håll", men som vi såg i 3.3 behöver man då bara ta inverterade värdet. Ofta motiveras variabelbyte av integrationsområdet; man byter variabel för att ge det en enklare beskrivning. Ex. 17 visar ett fall där man byter för att få en integrand till vilken man kan bestämma primitiv funktion; just denna integral är intressant eftersom den ger ett sätt att beräkna en enkelintegral som vi annars inte kommer åt och som är viktig i statistiken.
6.5: Går vi inte in på; nöjer mig med att påpeka att i Ex. 18 kan man givetvis använda polära koordinater.
6.6: Grundprincipen för generaliserade dubbelintegraler (obegränsat område och/eller obegränsad integrand) är densamma som för enkelintegraler: integrera över begränsat delområde där integranden är begränsad och tag gränsvärde då delområdena växer mot hela området. Om integranden tar både positiva och negativa värden behandlar man området där den är positiv för sig och området där den är negativ för sig.

Kapitel 7

7.1: Trippelintegraler följer mönstret från dubbelintegraler, men här har man mer att välja på då det gäller ordningsföljden i enkelintegrationerna; man kan också se den som en enkelintegral följd av en dubbelintegral eller som en dubbelintegral följd av en enkelintegral. Viktigt (och ibland svårt) att skaffa sig en bild av integrationsmängden. Volymtolkningen fungerar inte här såvida man inte tänker sig 4-dimensionell volym eller bara integrerar konstanten 1. En fysikalisk tolkning om integranden är positiv är att man beräknar en kropps massa genom att integrera dess densitet. Rymdpolära koordinater kan komma till användning; se fig. s. 293 för en geometrisk härledning av dess funktionaldeterminant som annars beräknas i Ex. 3.13 via två användningar av trig.ettan.
7.2: Hoppade vi över, men det kan vara roligt att veta att här beräknas volymen av det n-dimensionella enhetsklotet.

Kapitel 8

8.1: Några exempel på beräkning av volym mellan funktionsytor.
8.2: Beräkning av area av parameteryta i rummet, baserat på att arean av en parallellogram uppspänd av två vektorer är beloppet av deras kryssprodukt.

Kapitel 9

9.1: Kurvintegraler motiveras av det fysikaliska begreppet arbete, definierat av (kraft) gånger (väg i kraftens riktning) eller, ekvivalent, (väg) gånger (kraft i vägens riktning); då vägens riktning kan variera och kraften kan variera från punkt till punkt summeras lokala bidrag med en integral. I definitionen används en parameterframställning av vägen och dess derivata skalärmultipliceras med kraftvektorn för varje värde på parametern varefter man integrerar över parameterintervallet. Här är det praktiskt att använda riktade intervall, så att man kan tillåta att man går från ett större parametervärde till ett mindre.
9.2: För enkla slutna kurvor med positiv orientering (dvs. det inneslutna området ligger till vänster om kurvan) gäller om allt är C¹ att kurvintegralen kan beräknas som dubbelintegralen av ett uttryck som ibland kallas z-komponenten av rotationen av kraftfältet; du skall kunna bevisa detta i fallet av y-enkelt område och integral P dx som i boken s. 335–337. Greens formel används ofta för att ersätta en väg med en annan till priset av att beräkna en dubbelintegral över området mellan vägarna.
9.3: Vi tar bara upp areaberäkning med kurvintegral.
9.4: Vid exakta differentialformer eller potential- eller konservativa fält (kärt barn, många namn) kan man beräkna kurvintegralen med primitiv funktion och den beror då alltså endast på kurvans ändpunkter ("oberoende av vägen"). Omvändningen av detta gäller även (Sats 3). Rotationen av ett potentialfält är 0 (Sats 4) (fältet är virvelfritt), och omvändningen av detta gäller i ett enkelt sammanhängande område (Sats 5).