Göteborgs Vetenskapsfestival, maj 1998

Matherial från utställningen i Mathematiskt Centrum

Forskningsgruppen i Harmonisk analys och partiella differentialekvationer - HAPDE

Information om gruppens medlemmar och verksamhet finns på vår hemsida

http://www.math.chalmers.se/Math/Research/HarmonicAnalysis/

Forskningen inom gruppen handlar mycket om s.k. integraloperatorer, som är centrala inom harmonisk analys och har stor betydelse för att förstå partiella differentialekvationer. Teorin utspelas ofta i rum med olika geometriska och algebraiska strukturer. För den mera insatte kan vi berätta att vi studerar singulära integraler, maximalfunktioner och liknande operatorer på vissa typer av Liegrupper. Den globala geometrin skiljer sig här markant från den vanliga, och de intressantaste fenomenen visar sig i oändligheten.

Flera gruppmedlemmar ägnar sig åt partiella differentialekvationer, bl.a. ickelinjära vågekvationer. Medan den klassiska teorin behandlar s.k. reguljära problem, ekvationer med släta koefficienter i släta områden, studerar gruppen ickereguljära problem. Här använder man ofta verktyg från andra grenar av matematiken som algebra, topologi och geometri.

Några av dessa begrepp åskådliggörs i nedanstående bild, som illustrerar vågekvationen i en tredimensionell Liegrupp, den s.k. Heisenberggruppen. Bilden visar singulariteterna för lösningen till vågekvationen med ett punktformigt startvärde. Man kan säga att detta är en motsvarighet till ringar på vattnet då man kastar en sten på Heisenberggruppen.

Fourier och Fourierserier

Fransmannen Joseph Fourier (1768 - 1830) var matematiker, men han ägnade sig också åt politik under de stormiga åren efter franska revolutionen och deltog i Napoleons fälttåg i Egypten. Han löste ett fysikaliskt problem om värmeledning. Det gällde att beskriva temperaturutvecklingen i en kropp som svalnar. Fouriers banbrytande idé bestod i att dela upp temperaturen i sinus-formade vågor av olika våglängder. Man kan jämföra med uppdelningen av en ton i komponenter av olika frekvenser (grundton och flera övertoner). Även ljusets uppdelning i färger är av detta slag.

Låt oss se närmare på denna uppdelning i vågor. Matematiskt sett innebär den att man försöker framställa en given funktion som summa av ``enkla'' trigonometriska funktioner

$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+a_{1}\cos x+b_{1}\sin x+a_{2}\cos 2x+b_{2}\sin 2x +a_{3}\cos 3x+b_{3}\sin 3x+\dots\ .$$

Intuitionen säger att om man ska lyckas för en mer eller mindre generell funktion $\,f$, måste summan ovan vara oändlig, en s.k. serie. Fourier till ära kallas den funktionens Fourierserie. Om man bara tar med ändligt många termer, gäller att ju fler termer, desto närmare kommer man $\,f(x)\,$ (se figur 1 och 2). Den naturliga frågan man nu ställer sig är: hur generell får $\,f\,$ vara, d.v.s. vilka $\,f\,$ är summan av sin Fourierserie? En enkel observation är att de trigonometriska funktionerna i högerledet är periodiska, så att om $\,f\,$ inte är det kan likheten ovan gälla i ett intervall med längd (högst) en period, vilket illustreras tydligt av figurerna. För övrigt kanske de naturliga kandidaterna är de kontinuerliga funktionerna, d.v.s. de funktioner vars graf man kan rita utan att lyfta pennan. Om de dessutom är ganska ``snälla'', är vår hypotes sann, men det finns faktiskt kontinuerliga funktioner som inte är summan av någon Fourierserie. true cm

Låt oss nu titta närmare på funktionen från figur 1 och föreställa oss att den lutande delen i mitten blir allt brantare, ända tills den till slut blir vertikal. Funktionen är då inte kontinuerlig längre (en punkt på $\,x$-axeln får inte motsvaras av mer än en punkt på grafen), utan ``hoppar till'', se figur 2.

Återigen märker vi att man kommer närmare och närmare ju fler termer man tar, men vi ser också något annat, nämligen märkliga små ``horn'' strax till vänster och strax till höger om hopp-punkten. Det märkligaste är att de verkar finnas kvar, även efter det att man kommit mycket nära funktionen i övriga punkter. Överraskande nog visar det sig att de alltid kommer att finnas kvar, något som kallas för Gibbs' fenomen. Hela den oändliga Fourierseriens summa kommer att vara lika med funktionens högra värde plus ca 9% av ``språnget'' i det högra hornet, resp. funktionens vänstra värde minus ca 9% av ``språnget'' i det vänstra hornet (i själva verket 8,9489872...%). Detta fenomen uppträder alltid i punkter där en funktion har språng.

Vi kan glädjande nog avsluta avsnittet om Fourierserier genom att nämna en betydande svensk insats. Lennart Carleson bevisade 1966 att om bara $\,\int_{-\pi}^{\pi}(f(x))^{2}dx\,$ är ett ändligt tal, så är $\,f\,$ lika med summan av sin Fourierserie nästan överallt i intervallet $\,[-\pi,\pi]$. Det betyder att om man, bildligt talat, står i begrepp att sätta pennan slumpvis någonstans mellan $\,-\pi\,$ och $\,\pi\,$, så är sannolikheten noll för att hamna där $\,f\,$ inte är lika med seriens summa.

Vi har hittills avstått från att närmare diskutera koefficienterna $\,a_{n},\ b_{n}\,$ i serien. Givet $\,f\,$finns det enkla formler för dem. Vi har heller inte diskuterat frågan varför man är intresserad av Fourierutvecklingar. De som läser vidare i denna skrift kommer i avsnittet om fioler och trummor att få se en tillämpning av dessa idéer.

Wavelets -- en ny variant av Fourieranalys

Om man vill studera signaler som innehåller abrupta förändringar eller är koncentrerade till korta tidsintervall så kan det vara en nackdel att använda sinusfunktioner som byggstenar. En alternativ metod som utvecklats de senaste 10-15 åren är att använda så kallade wavelets , som också är svängningar, men som har en begränsad utsträckning. Genom att variera utsträckning och läge för denna wavelet får man något som fungerar ungefär som fourieranalys, men som ger bättre förmåga att ``zooma in'' på de intressanta delarna av signalen.

En bild säger mer än tusen ord men bilder tar mycket plats att lagra i en dator och mycket tid att överföra, t.ex. över ett modem, och rörliga bilder är ännu mer krävande. Man vill därför hitta metoder att lagra bilder så kompakt som möjligt, och med hjälp av wavelets kan man åstadkomma mycket effektiva sådana kompressionsmetoder. Principen är att bilden byggs upp från en grov approximation av bilden som sedan förfinas genom att man lägger till fler och fler detaljer i form av wavelets. Det visar sig att man redan med ganska få detaljer kan komma mycket nära originalbilden, och det räcker då att lagra dessa detaljer.

Kakeyas nålproblem

En nål, eller om man så vill ett segment, är rörlig inom en plan mängd. Om man fritt får välja mängdens form, hur stor måste dess yta minst vara för att nålen skall kunna vridas ett helt varv, medan den förblir i mängden? Detta problem formulerades 1917 av japanen Kakeya.

Låt oss anta att nålen har längden 1. Då är det klart att en cirkelskiva med diameter 1 räcker till för att man skall kunna vrida nålen. Se figur 3. Dess yta är 0,78. Men en mindre mängd som också räcker är en liksidig triangel med höjd 1 som i figur 4, vars yta är 0,58. I några år misstänkte man att den sökta, minst tänkbara mängden var en s.k. hypocykloid (figur 5). Den har ytan 0,39.

Men år 1928 publicerade ryssen Besicovitch den överraskande lösningen på problemet. Svaret är att ytan kan göras hur liten som helst. Mängden kan då bestå av ett stort antal mycket långsmala trianglar. Dess huvuddel liknar en taggig buske och visas i två versioner i figur 6. Denna geometriska konstruktion har senare kommit till nytta i samband med flera problem inom Fourieranalys.

Den intresserade kan läsa mer om detta problem i en artikel av A.S. Besicovitch ``The Kakeya problem'' i American Mathematical Monthly 70 (1963), sid 697-706.

Kan man höra formen på en trumma?

Låt oss utgå från formen på trumman och bestämma hur trumskinnet rör sig då man slår an det med en trumpinne. Problemet kan matematiskt beskrivas med differentialekvationen ( vågekvationen)

$$\frac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}}(t,x,y)=c^{2}\Delta v(t,x,y)$$

där

$$\Delta v(t,x,y)= \frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}(t,x,y)+ \frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}(t,x,y).$$

Här anger v(t,x,y) den vertikala avvikelsen från jämviktsläget vid tidpunkten t hos ett litet ytelement av trumskinnet vars projektion på xy-planet har koordinaterna (x,y). Att trumskinnet är fast inspänt i xy-planet, dvs trumskinnet sitter fast i en ram i xy-planet, ges matematiskt av att u=0 på randen av trumskinnet. Konstanten c har den fysikaliska dimensionen meter/sek och är en ''materialkonstant''. Fouriers ide var att göra ansatsen

u(t,x,y)=T(t)P(x,y),

vilken insatt i differentialekvationen ger ekvationerna

$$\Delta P+\lambda P=0,\;\;\;\;T^{''}+c^{2}\lambda T=0,$$

där $\lambda$ är en konstant (separationskonstant). Detta $\lambda$ svarar mot en frekvens; mer exakt är frekvensen proportionell mot kvadratroten ur $\lambda$. Man kan visa att det för oändligt (uppräkneligt) många olika $\lambda$ finns icke-triviala funktioner P sådana att $\Delta u+\lambda P=0$ med P=0 på ``trumskinnsranden''. Dessutom gäller

$$0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{3}\leq\ldots\leq\lambda_{n}\leq \lambda_{n+1}\leq\ldots.$$

Detta visades redan på 1800-talet. Superpositionsprincipen (att summan av lösningar också är en lösning) ger den allmänna lösningen

$$v(t,x,y)=\Sigma_{n=1}^{\infty} [A_{n}\cos(c\sqrt{\lambda_{n}}t)+B_{n}\sin(c\sqrt{\lambda_{n}}t)]P_{n}(x,y),$$

där A_n,B_n är konstanter och P_n är lösning till $\Delta P_{n}+\lambda_{n} P_{n}=0$.

Problemet att höra formen på trumman är det omvända, dvs nu känner vi samtliga $\lambda_{n}$ men inte formen. Att det inte räcker att känna till alla $\lambda_{n}$ för fallet med trumman visades först 1992 av Carolyn Gordon, David Webb och Scott Wolpert. Ett exempel på två likljudande trummor visas nedan.

För en fiolsträng med längden L är motsvarande separationskonstanter

$$\lambda_{n}\sim (\frac{n}{L})^{2}\;\;\;n=1,2,\ldots$$

I detta fall räcker det med de två första konstanterna $\lambda_{1},\lambda_{2}$ för att kunna kalkylera L.
Om man däremot vet att trumman är cirkulär eller rektangelformad, kan man avgöra formen, dvs bestämma radie resp. kantlängder om man känner alla $\lambda_{n}$. Frågan om det räcker att veta att trumman är konvex för att alla $\lambda_{n}$ entydigt skall bestämma formen är ännu olöst.

Solitonvågor

Teorin för så kallade linjära differentialekvationer, där vågekvationen är ett exempel, är välutvecklad mycket tack vare den svenske matematikern Lars Hörmander. Han är den ende svensk (hitintills) som fått matematikens ''Nobelpris'', den så kallade Fieldsmedaljen. Mycken forskarmöda läggs i dag ner på att studera icke-linjära differentialekvationer. För dem gäller inte superpositionsprincipen. Ett exempel på en sådan ekvation är Korteweg-de Vries´ ekvation

$$\frac{\partial v}{\partial t}(t,x,)+ \frac{\partial^{3}v}{\partial x^{3}}(t,x)+ 6v(t,x)\frac{\partial v}{\partial x}(t,x)=0.$$

Solitoner, ett begrepp som myntades på 60-talet, är lösningar till dylika icke-linjära ekvationer. Studiet av dessa började redan på 1800-talet. En startpunkt brukar man ange som det tillfälle 1834 då John Scott Russell observerade en våg som rörde sig framåt i en kanal nära Edinburgh, kilometer efter kilometer och till synes utan att ändra form. Den ''partikelkaraktär'' som man kan associera med solitoner beror på den i ekvationen inneboende balansen mellan den icke-linjära effekten från den sista termen i ekvationen och dispersionseffekten från de två första termerna. Icke-linjäriteten vill ytterligare koncentrera vågen medan dispersionen vill sprida ut vågen. Liknande fenomen kan man inte finna hos linjära vågekvationer. I naturen kan man ''se solitoner'', t ex på flygbilden från Gibraltar sund (se på Medelhavssidan!).

Optimering och bang-bang-lösningar

I tecknade filmer och serier är det en utbredd vana att köra bilar, rymdraketer osv. genom att omväxlande gasa maximalt och tvärbromsa. Ett sådant körsätt är inte att rekommendera i verkligheten, med tanke både på motorn och trafiksäkerheten. Men i vissa situationer kan det vara det snabbaste sättet att komma dit man vill. Anta exempelvis att man styr en liten motorbåt och på kortast möjliga tid vill komma fram till förtöjningsplatsen och få stopp på båten där. Då blir strategin att ha fullt gaspådrag i riktning mot målet fram till en väl vald tidpunkt då man slår om till full fart back, så att båten stannar precis på rätt ställe.

Uppgiften att göra någon kvantitet så stor eller så liten som möjligt brukar kallas optimering. I situationen ovan gäller det att minimera en tid. Vi ser alltså att lösningen i det fallet fås genom att man låter gaspådraget växla mellan sina extrema värden. Detta kallas en bang-bang-lösning. Även för allmänna klasser av optimeringsproblem är ibland lösningen av denna typ. Innan man försöker lösa ett optimeringsproblem är det ofta viktigt att kunna avgöra om lösningen är av bang-bang-typ. I så fall vet man nämligen betydligt mer om den sökta lösningen. (En del regeringar verkar tro att ett lands ekonomi skall styras med bang-bang; man låter kraftig stimulans omväxla med lika kraftig åtstramning, men låt oss lämna politiken därhän.)

Vi skall i stället se på ett fysikaliskt problem. Låt elektriska laddningar vara fördelade på randen till ett område i planet. Då uppstår en elektrisk potential i området, och dess värden på randen bestämmer dess värden inne i området. Vi föreskriver nu att potentialen på randen, och därmed överallt, skall ligga mellan 0 och 1, vilket innebär restriktioner på laddningsfördelningen. Givet ett fastlagt värde på potentialens i en fix punkt i området, vill man bestämma värdena på randen så att potentialen i en annan punkt i området är så liten som möjligt.

Att lösningen är av bang-bang-typ skulle här innebära att den sökta potentialen bara har värden 0 och 1 på randen. Man kan visa att de optimala lösningarna är av bang-bang-typ för reguljära områden, eller för att vara lite mer precis, för områden som uppfyller den så kallade modifierade Bers-egenskapen (MBE). Ett aktivt forskningsområde är att studera vilka områden som har den ovan nämnda egenskapen. En förmodan är att så kallade Lipschitz-områden uppfyller MBE. Randen på Lipschitz-områden kan vara taggig, men inte värre än att de hörn, utåtriktade och inåtriktade, som förekommer har öppningsvinklar som är större än en given positiv konstant, ``hörn men inte spetsar''. En egenskap som gör dessa områden intressanta är att deras rand är skalinvariant. Detta innebär att om man betraktar randen genom ett mikroskop med allt kraftigare förstoring, behöver inte randen ändra form. Om man däremot förstorar en mera reguljär kurva på samma sätt, ansluter den sig allt närmre till en rät linje. Analys av partiella differentialekvationer på Lipschitzområden har varit ett aktivt forskningsfält i Göteborg och internationellt, med den nyligen i förtid bortgångne matematikern Björn Dahlberg som centralgestalt.

Låt oss, med risk att bli obegripliga, avsluta med den matematiska formuleringen av MBE:
Det begränsade området $\Omega\subset {\mathbf R}^{n}$uppfyller MBE om för varje öppen delmängd I av randen och varje delmängd $E\subset I$ med positivt ytmått gäller att u=0 är den enda lösningen till problemet:

$$\left\{ \begin{array} {ll} \Delta u=0 & {\mathrm{i}}\;\;\Ome... ... \\ \frac{\partial u}{\partial n}\vert_{E}=0.\end{array}\right.$$