EXAMINATION: Tentamensskrivning i Matematisk Statistik (TMS060)

Tid: Onsdagen den 11 April, 2007

Jour: Anastassia Baxevani, tel: 070-2972910

Tillåtna: Formelsamling, tabeller (även BETA, Physics Handbook, skoltabeller, t.ex. TEFYMA), valfri räknedosa, ett A4-blad med egna anteckningar men ej lärobok.

Poönggränser: 24p för 5, 18p för4, 12p för 3.

Read this before you start to solve the problems: Motivate all your answers.It would be great if you could write in english. Good Luck!

1) Från en maskin för tillverkning av kondensatorer tog man en provserie på 8 som gav kapacitarna

996 973 1004 971 986 991 1011 985 pF

Antag att detta är ett stickprov på en normalförddelning med väntevärdet μ och intervallskatta μ med

a) ett tvåsidigt symmetriskt intervall

b) ett ensidigt, nedåt begränsat intervall

(konfidensgrad i båda fallen: 0.99) (4p)

2) B̂_{1} = \frac{∑_{i=1}^{n}(X_{i}−X̂)Y_{i}}{S_{xx}} är ett sätt att skriva maximimetodens punktskattning av B_{1} i den enkla linjära regressionsmodellen. Visa att E(B̂_{1}) = B_{1} och V ar(B̂_{1}) = σ^{2}/S_{xx}. (3p)

3) Till en telefonväxel kommer anrop enligt en Poissonprocess med intensiteten c = 2 per minut. Vad är sannolikheten att det efter ett anrop dröjer mer än en minut till nästa? (Tiden mellan anrop är exponentialfördeled med väntevärdet 1/c). (3p)

4) En robot används vid biltillverkning för två arbetsmoment, åtdragning av bultar och svetsning. Låt A vara händelsen att ingen underkänd svetsning påträffas i en bil vid kontroll och B händelsen att minst en dåligt åtdragen bult hittas. Antag att P (A) = 0.90, P (B) = 0.20 och P (A ∩ B) = 0.14. Beräkna P (A′ ∪ B). (A′ betecknar komplementhändelsen till A.) (3p)

14.7 20.8 6.9 12.4

är ett observerat stickprov på X med frekvensfunktionen

f(x) = \frac{x}{α}e^{− \frac{x^{2}}{2α}} , x > 0.

Bestäm maximimetodens skattning av α. (3p)

6) Frekvensfunktionen för den tid X det tarr att betjäna en kund i ett betjäningssystem är f(x) = \frac{10−x}{50}, 0 < x < 10.

a Bestäm E(X) och V ar(X).

b Antag att kostnaden Y för en kund är 800 + 100X. Bestäm E(Y) och V ar(Y).

(4p)

7) X och Y är oberoende och Poissonfördelade med väntevärdet 2. Vad är P (X + Y ≤ 1)? (3p)

8) I en enkel linjär regressionsmodell gav ett test av H_{0} : β_{1} = 0 mot H_{1} : β_{1} > 0 p-värdet 0.024. Kan H_{0} förkastas på 0.01-nivå? Varför / varför inte? Vad blir p-värdet om alternativet i stället är H_{1} : β_{1} ≠ 0? (4p)

9) Låt (X_{1}, …, X_{15}) vara ett stickprov på X, som är N(μ, σ^{2}) där σ^{2} är känd. Då är som bekant I = (X̄ −1.96σ/\sqrt{15}, X̄ +1.96σ/\sqrt{15}) ett 0.95 konfidensintervall för μ. Antag att man gör ytterligare en observation X_{16}. Beräkna sannolikheten att X_{16} ∈ I (3p)