ALA K+Kf+Bt, del a, ht 2002

Linjära ekvationssystem m.m.


1.   Lös (för hand) ekvationssystemet  A x = b  där  A = [ 0 -1 2; 1 -1 0; 3 1 -1]  och  b = [ 7; 3; 2] . Kontrollera ditt svar m.h.a. matlabs  rref([A b]) . Järför  A \ b  och  inv(A) * b .
2.   Lös ekvationssystemet  A X = B  med  A  som i uppgift 1 och  B = [ 7 6; 3 -6; 2 -7] . Kontrollera ditt svar m.h.a. matlabs  rref([A B]) . Järför  A \ B  och  inv(A) * B .
3.   Lös ekvationssystemet  A X = I  med  A  som i uppgift 1 och där  I  är enhetsmatrisen, dvs  X = inv(A)  är inversen till  A . Kontrollera ditt svar m.h.a. matlabs  inv(A)  och/eller  A \ I .
4.   Beräkna inversen till matriserna a)  A = [ 2 -3; -1 4]  och b)  A = [ 1 -2 1 0; -2 4 -3 0; 0 -1 2 -3; 0 0 -1 2] . Kontrollera ditt svar m.h.a. matlab.
5.   Bestäm m.h.a. matlab  X  så att  X A = B  med  A  som i uppgift 1 och  B = [ 1 0 -2; 3 2 -5; 0 2 1] . Tips: Se  help mrdivide  eller  help / 
6.   Bestäm  A  om  A [ 1; -2; 3] = [ 0; 6; -2] ,  A [ -2; 7; 1] = [ 4; -3; 1]  och  A [ 2; 4; -1] = [ 3; 3; -5] . Tips: Jfr uppgift 5.
7.   Bestäm alla  x  sådana att  A x = b  om  A = [ 1 2 3; 2 3 8]  och  b = [ 4; 7] . Svar:  x = [ 2 - 7s; 1 + 2s; s] = [ 2; 1; 0] + s [ -7; 2; 1]  med godtyckligt  s . Verifiera att  A [ -7; 2; 1] = [ 0; 0; 0] . Är detta en slump ?
8.   Bestäm alla  x  sådana att  A x = b  om  A = [3 -1 2 4; 1 0 -1 3]  och  b = [ 6; 7] . Svar:  x = [ 7 + s - 3t; 15 + 5s - 5t; s; t] = [ 7; 15; 0; 0] + s [ 1; 5; 1; 0] + t [ -3; -5; 0; 1] ,  s  och  t  godtyckliga. Vad kan säges om  A ( s [ 1; 5; 1; 0] + t [ -3; -5; 0; 1])  ?
9.   Bestäm samtliga  x  sådana att  A x = b  om  A = [ 2 -1 3; 3 1 0; -1 -2 3]  och a)  b = [ 1; 2; 3]  b)  b = [1; -2; 3] .
10.   Lös ekvationssystemet  A x = b  där  A = [ 0 -6 3 0; 1 2 -3 1]  och  b = [ 2; -3] .
11.   Lös ekvationen  A x = b  där  A = [ 4 -2 2; -2 1 -1]  och  b = [ 8; -4] .
12.   Vad kan sägas om möjligheten att hitta lösningar till  A x = b  om  A  är en  3 x 4  matris och a)  rank(A) = 3  b)  rank(A) < 3 .
13.   Under vilka förutsättningar finns andra lösningar än  x = 0  till  A x = 0  om a)  A  är en  3 x 3  matris b)  A  är en  3 x 4  matris (vad gäller  rank(A)  och/eller  det(A)  ) ?
14.   Vad kan sägas om  rank(A)  och  rank([A b])  i uppgift 9 a) resp b).
15.   Betrakta ekvationssystemet  A x = b  i uppgift 9a, vilket ju visade sig sakna (egentlig) lösning. Lägg till ekvationen  x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4  och undersök om matlab kan hitta någon lösning då.



Ett par programmeringsuppgifter:

1.   Skriv ett matlabprogram som givet en  m x n  matris returnerar matrisens alla element radvis i en kolonnvektor, så att t.ex. matrisen  [1 2 3; 4 5 6]  transformeras till vektorn  [1 2 3 4 5 6]' .
2.   Skriv ett matlabprogram som givet en  n x n  matris  A , en  n x 1  vektor  b , och ett index  i  mellan  1  och  n , beräknar kvoten mellan determinanten av den matris som urhålles genom att ersätta kolonn  i  i  A  med  b , med  A's  egen determinant. Jämför med komponent  i  i lösningen till  A x = b . Finns något samband ?

/Kenneth


Last modified: