``Lös''
manuellt, med minsta kvadratmetoden,
1.     a)     $\left\{\begin{array}{l}2 x_1=-3 -x_1=1\end{array}\right.$     b)     $\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2=-3 -x_1+x_2=1 2 x_1+3 x_2=4\end{array}\right.$     c)     $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+x_2=4 -x_1+2 x_2=0 x_1=1\end{array}\right.$     d)     $\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2=1 -x_1+x_2=-2 x_1-2 x_2=0 2 x_1+2 x_2=4\end{array}\right.$    
``Lös''
m.h.a. matlab
2.     a)     $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+3 x_2=-3 -x_1+4 x_2=-6 x_1-3 x_2=7\end{array}\right.$     b)     $\left\{\begin{array}{l}3 x_1+2 x_2-x_3=3 -x_1+x_2=0 -2 x_1+x_2+5 x_3=7 x_1+x_3=4\end{array}\right.$     c)    Beräkna i fallet 2a resp 2b ``minsta kvadratfelet'' i lösningen, dvs $\vert Ax-b\vert$. Tips: Ges av sqrt$($dot$(A*x-b,A*x-b))$. Jfr norm$(A*x-b)$.
d)    Pröva några andra val av $x$ och notera att detta alltid ger större värden på $\vert Ax-b\vert$.
Reflektera
3.     Jämför lösningen i t.ex. 1b med matlabs svar på $x=A\backslash b$. Betyder $x=A\backslash b$ alltid att $Ax=b$?
4.     Lös $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=3 x_1-x_2=1 -x_1+2 x_2=0\end{array}\right.$. Beräkna felet $Ax-b$. Rita!    
5.     ``Lös'' (med minsta kvadratmetoden) $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1 x_1+x_2=2\end{array}\right.$. Jämför felet $Ax-b$ för erhållna lösningar. Rita! Vad ger matlabs $A\backslash b$? Vad ger matlabs $A\backslash b$ om man tar med även ekvationen $x_1+x_2=4$? Vad säger matlab om ekvationssystemet $A^T A x=A^T b$.    
6.     Beräkna, t.ex. för problemet i 1b, skalärprodukterna mellan $b-Ax$ och kolonnerna i $A$. Geometrisk tolkning?
Regregera
7.     Bestäm $m$ och $k$ så att det linjära sambandet $y=m+k x$ så väl som möjligt modellerar ett observerat samband med datapunkter $( x, y)$ givna av $( 0, 1.8)$, $( 1, 1.5)$, $( 2, 1.3)$ och $( 3, 0.9)$. Plotta det erhållna sambandet.

Svar:
1.     a)    $x=-1.4$     b)     $x=( -0.4, 1.6)$     c)     $x=( 1.5, 0.8)$     d)     $x=( 11/7, 1/2)$
2.     a)     $x=( 0.9064, -1.5616)$     b)     $x=( 1.2778, 0.6111, 1.8333)$     c)    $1.8248$ resp $1.1547$
3.     Nej! Reflektion?
4.     $x=( 2, 1)$. Fel $=0$. Även överbestämda system kan ha exakt lösning!
5.     Manuell räkning ger (minsta kvadrat) lösningarna $x=( 1.5-s, s)$. Matlabs $A\backslash b$ ger Inf, eftersom $A$ singulär. Med en ekvation till ger matlabs $A\backslash b$ minsta kvadratlösningen. Ekvationssystemet $A^T A x=A^T b$ löser matlab med $x=( 0.0002, 1.4998)$ (motsvarande $s=1.4998$ med en varning). Reflektion: Kan finnas flera (lika bra/dåliga) minsta kvadrat ``lösningar''.
7.     $m=1.81$ och $k=-0.29$.