|
Lärare
Föreläsare och examinator:
Mats Larson,
telefon: 772 3591, mgl@math.chalmers.se
Chalmers Finite Element Center
Handledare:
Rickard Bergström,
telefon: 772 5314, ribe@math.chalmers.se
Chalmers Finite Element Center
Georgios Foufas,
telefon: 772 5400, foufas@math.chalmers.se
Chalmers Finite Element Center
Kursbeskrivning
Kursen behandlar matematiska modeller i 1D och 2D
av processer där reaktion och produktion, samt
transportmekanismer som diffusion
och konvektion, ingår. Dessa modeller, som
typiskt baseras på
konservering av massa och värme samt vissa
konstitutiva samband,
utgörs av partiella differentialekvationer.
Huvudmomentet i kursen
består i att lära dig beräkna lösningar till dessa
ekvationer
med Finita Elementmetoden (FEM), vilken bygger på
approximation
med styckvisa polynom. Vi inleder kursen med att
studera styckvisa polynom och hur de kan användas för
att approximera givna funktioner. Vi går sedan
vidare och beskriver hur en approximation av den
okända lösningen till en differentialekvation kan
beräknas. Under kursens gång kommer du att få arbeta
med både teori, implementation av metoden, samt
modellering. Speciellt utvecklar du din egen
FEM-lösare i Matlab.
Kursform
Föreläsningar (4 tim/v) plus övningar i datorstudio (4 tim/v).
Arbetet med inlämningsuppgifterna spelar en viktig roll under kursen
och ger genomgång av hela kursinnehållet från teori
till praktik.
Schema
Föreläsning:
Måndag 13-15, i Vasa C. Onsdag 13-15, i KA.
Datorstudio:
Måndag 10-12, i KD1 och KD2. Onsdag 10-12, i KD1 och KD2.
Lärare: Mats, Rickard och Georgios.
Kurslitteratur
Applied Mathematics: Body & Soul Part D: kap 52, 53, 76 och 77.
(Delas ut i samband med föreläsning.
Kan också hämtas i entrén till Aseco.)
Detaljerat kursprogram
Grov plan för föreläsningarna:
Läsvecka 1-4: kap 52, 53.
Läsvecka 5-7: kap 76, 77.
Detaljerad (preliminär) plan:
lv1:
OBS! Studioövningen måndag 10-12 ställs in.
Föreläsning 1, måndag 13-15:
Vektorrummet av linjära funktioner på ett intervall.
Vektorrummet av styckvis linjära, kontinuerliga funktioner på ett intervall.
Linjär interpolation. Styckvis linjär, kontinuerlig interpolation.
Interpolationsfeluppskattningar. (52.1-4)
Studioövning 1, onsdag 10-12:
Piecewise Polynomial Lab.
Om du vill kan du ladda ner ("Shift-klicka" på länkarna)
de två filer som behövs för
att köra PP Lab till din egen dator:
PP.fig
och PPmod.m.
Föreläsning 2, onsdag 13-15:
Interpolationsfeluppskattningar. Introduktion till
L2-projektion: definition samt härledning av linjärt ekvationssystem.
(52.3-5)
lv2:
Studioövning 2, måndag 10-12:
Kvadratur. L2-projektion.
Föreläsning 3, måndag 13-15:
Repetition. Definition av L2-projektion samt härledning av
ekvationssystem. Exempel på L2-projektion av funktionen x^2 på rummet av
linjära funktioner på (0,1).
Studioövning 3,
onsdag 10-12,
Styvhetsmatris. Robinrandvillkor. (53.5-6)
Föreläsning 4, onsdag 13-15:
Analys av L2-projektion: entydighet, existens och
feluppskattning. Kort intro till FEM for det enklaste modelproblemet.
Sammanfattning Lv 1-2:
Vi introducerar rummet av kontinuerliga styckvis linjära funktioner V_h
på en partition av ett intervall. Utvecklingen av en funktion v i V_h som
en linjärkombination av hatt-bas-funktioner är mycket viktig och kommer
att användas om och om igen.
Vi studerar sedan approximations problemet: givet en funktion f finn en
approximation av f i V_h. Här finns två olika metoder: interpolation och
L2-projektion.
Vi börjar med interpolation och bevisar feluppskattningar för
interpolations felet i maxnormen. Därefter definierar vi L2-projektion
och härleder ett linjärt ekvationssystem som används för att beräkna
denna. I analysen av L2-projektionen visar vi en feluppskattning samt att
L2-projektionen existerar unikt. Teknikerna i beräkning och analys av
L2-projektionen kommer igen i finita elementmetoden och är därför viktiga
moment.
lv3:
Studioövning 4, måndag 10-12: Arbete med tidigare
studioövningar.
Föreläsning 5, måndag 13-15:
Vi går igenom finita element metoden för ett stationärt model problem
med Dirichlet samt Robin randvilkor. Speciellt härleder vi det
ekvatiuonssystem som används för att beräkna fem lösningen. Slutligen
skall vi gå igenom hur man utvidgar metoden till ett tidsberoende
model problem.
Studioövning 5, onsdag 10-12,
Tidsberoende problem.
Föreläsning 6, onsdag 13-15: Vi gick igenom analysen
av finita element metoden inklusive entydighet, existens,
feluppskattning. Notera speciellt hur man härleder Galerkin
ortogonalitetsvilkoret.
lv4:
Studioövning 6, måndag 10-12: Arbete med tidigare
studioövningar.
Föreläsning 7, måndag 13-15: Vi repeterar det
endimensionella materialet som en förberedelse till deltentamen på onsdag.
Studioövning 7, onsdag 10-12: Valfri verksamhet.
Föreläsning 8, onsdag 13-15: Deltentamen.
lv5:
Studioövning 8, måndag 10-12 Arbete med veckans problem.
Föreläsning 9, måndag 13-15:
Vi gick igenom triangulering, inklusive storlek på trianglar,
minsta vinkeln och datastrukturer, av ett område i planet. Därefter
introducerade vi rummet av kontinuerliga styckvis linjära funktioner på en
triangulering och hur dessa kan skrivas som en linjärkombination av
tält-basfunktioner. Slutligen definierade vi L2-projektionen och
härledde ekvationssystemet som används för att beräkna denna.
Studioövning 9, onsdag 10-12
Kvadratur (2D). Massmatris.
Föreläsning 10, onsdag 13-15:
Vi definierade interpolanten och formulerade feluppskattningar av
interpolationsfelet. Därefter presenterade vi ett enkelt model problem
med homogena Dirichlet randvilkor och visade hur detta
kan variationsformuleras. Därefter definierade vi finita element metoden och
härledde ett ekvationssystem som bestämmer fem lösningen. Slutligen
införde vi ett mer komplicerat model problem med Robin randvilkor och
variabla koefficienter och härledde variationsformuleringen.
lv6:
Studioövning 10, måndag 10-12
MyFirst2DPoissonSolver.
Föreläsning 11, måndag 13-15:
Vi går vidare med att formulera en tidsberoende metod genom att
först använda FEM i rummet för att erhålla ett system av ordinara
differential ekvationer vilket vi löser numeriskt mha bakåt Euler.
Därefter går vi tillbaka till analysen av L2-projektionen.
Studioövning 11, onsdag 10-12
Tidsberoende problem (2D).
Föreläsning 12, onsdag 13-15:
Analysen av finita element metoden i 2D gås igenom och därefter
diskuterar vi lokal nätförfining samt a posteriori feluppskattningar.
Inlämningsuppgifter
Inlämningsuppgift 1:
Lösare för tvåpunkts randvärdesproblem, valda
problem, topics, tillämpningar.
ps-format och
pdf-format
Tillägg till inlämningsuppgift 1, deluppgift D
(Utdelat på studioövning måndag
lv4.)
ps-format och
pdf-format
Inlämningsuppgift 2:
Lösare för randvärdesproblem i 2D, valda
problem, topics, tillämpningar.
ps-format och
pdf-format
Tillägg till inlämningsuppgift 2, deluppgift D,
tillämpningsförslag : "The catalyst pellet"
ps-format och
pdf-format
Examination
1. Att bli godkänd på två obligatoriska
inlämningsuppgifter som delas ut lv2 och lv5,
och lämnas in lv4 och lv7. Uppgifterna är individuella
men samarbete i grupp om 2 uppmuntras.
2. Två skriftliga tentamina,
en på onsdag i lv4 (25/9 13.15 - 15.00 KA)
och en i tentaveckan (21/10 f V).
Totalpoängen beräknas
enligt formeln:
Totalpoäng = 1/3 * [poäng på deltentamen] +
4/5 * [poäng på sluttentamen]
(Max poäng, deltentamen: 30, sluttentamen: 50, totalt: 50)
Deltentamen:
ps-format och
pdf-format
Lösningar till deltentamen:
ps-format och
pdf-format
Resultat på deltentamen.
Resultat på tentamen.
Betyg.
Extra material
lv1:
Räkneuppgifter lv1:
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv1:
ps-format och
pdf-format
lv2:
Kvadratur (1D):
ps-format och
pdf-format
(Utdelat på studioövning måndag lv2.)
Räkneuppgifter lv2: (Kvadratur. L2-projektion.)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv2:
ps-format och
pdf-format
Robinrandvillkor (1D):
ps-format och
pdf-format
(Utdelat på studioövning
onsdag lv2.)
Deltentamen: 2002-04-25
ps-format och
pdf-format
Lösningar till deltentamen: 2002-04-25
ps-format och
pdf-format
Deltentamen Kb: 2001-09-24
ps-format och
pdf-format
lv3:
Räkneuppgifter lv3: (FEM.)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv3:
ps-format och
pdf-format
Tidsberoende problem (1D):
ps-format och
pdf-format
(Utdelat på föreläsning
måndag lv3.)
lv5:
Räkneuppgifter lv5: (Triangulering.)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv5:
ps-format och
pdf-format
lv6:
Räkneuppgifter lv6: (Kvadratur, massmatris)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv6:
ps-format och
pdf-format
Robinrandvillkor 2D:
ps-format och
pdf-format
(Utdelat på föreläsning
onsdag lv5.)
Tidsberoende problem (2D):
ps-format och
pdf-format
(Utdelat på föreläsning måndag lv 6)
Adaptiva algoritmer:
ps-format och
pdf-format
lv7:
Räkneuppgifter lv7: (Styvhetsmatris, Robin, FEM)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv7:
ps-format och
pdf-format
Tentamen 2002-08-30
pdf-format
Tentamen 2002-06-01
ps-format och
pdf-format
Lösningar till tentamen: 2002-06-01
ps-format och
pdf-format
Tentamen 2002-01-14
ps-format och
pdf-format
Lösningar till tentamen 2002-01-14
ps-format och
pdf-format
Tentamen 2001-10-22
ps-format och
pdf-format
Lösningar till tentamen 2001-10-22
ps-format och
pdf-format
| 
