|
Betinget
Betrakta värmeledningsproblemet som presenterades under
den första föreläsningen, i det givna området
och med given triangulering i 6 triangelelement och
med 7 noder med
given numrering, och med c=1, a=1 och f=1
resulterande i ekvationen du/dt-div.grad u=1, och med
gamma=1, g_D=0 och g_N=0 längs
"tak och väggar" (i det husliknande området), och med
gamma=0 och g_N=1 längs "golvet". Huset
antas 1 (längdenhet) långt resp. högt
(från golv till taknock), så om du väljer origo i nedre
vänstra hörnet får noderna följande koordinater:
Nod 4: (0.5, 1)
Nod 5: (0, 0.5) Nod 7: (0.5, 0.5) Nod 3: (1, 0.5)
Nod 1: (0, 0) Nod 6: (0.5, 0) Nod 2: (1, 0)
Har sett att en diskretisering med tidssteg av längd k
(med Eulers "bakåtmetod") leder till ekvationssystemet
(1) (M + kA + kK)U_n = MU_{n-1} + kF_n + kG_n
för den sökta
nodvärdesvektorn U_n på nya tidsnivån
t_n.
Beräkna 7x7-matriserna
M, A och K,
och 7x1-vektorerna F=F_n och G=G_n.
Kommentar: Notera att på
föreläsningen vektorerna F_n och G_n
beräknats med integration både över Omega
och över tidsintervallet I_n, men
att F_n och G_n i ekvation (1) ovan endast
skall integreras över Omega. Faktorn k
framför dem i ekvation (1) kommer ju från
tidsintegrationen som alltså redan kan anses utförd.
Planen är sedan att vi på de 2 första studiotillfällen
skall jämföra
dessa handräknade matriser och vektorer med motsvarande
dator/matlabberäknade matriser och vektorer, i våra
befintliga koder, för att försäkra oss om att
såväl vår uppfattning om dessa storheter som
datorimplementeringen för beräkning av desamma
är korrekta.
Tips: Börja med att fullfölja den
påbörjade beräkningen av diffusionsmatrisen
A, som efter att bidragen från triangel 1
och triangel 2 inkommit har följande innehåll:
/ \
| |
| 1/2 0 0 0 0 -1/2 0 |
| 0 1/2 0 0 0 -1/2 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 |
| 0 0 0 0 0 0 0 |
| -1/2 -1/2 0 0 0 2 -1 |
| 0 0 0 0 0 -1 1 |
| |
\ /
Fortsätt sedan med F, följt av
G, och slutligen K och M, som ju
involverar integration av kvadratiska funktioner och därför
kräver viss eftertanke. Notera att vid integration på ett
triangelelement är det lämpligt att "flytta" detta till en
referensposition, förslagsvis den med hörnen i
(0,0), (0.5,0) och (0,0.5), där ju de tre
basfunktionerna ges av 1-2x_1-2x_2, 2x_1,
och 2x_2, vars parvisa produkter lätt integreras
m.h.a. en dubbelintegration. Detta kan ju också ses som att man
inför ett lokalt koordinatsystem anpassat till det aktuella
elementet. Analogt för randelementen.
Tips: Eftersom f=1 blir elementen i
vektorn F
enkla att beräkna. Tolka dem som volymer under
"tälten" och använd formeln för volymen av en
pyramid. Vid beräkning av vektorn G: observera att
g = gamma * g_D - g_N = 0 längs "tak och väggar"
enligt randvillkoren, så endast element 1,
2 och 6 i G kan vara skilda
från 0. Vid beräkning av matrisen K:
observera att element K_ij endast kan vara skilt från
0 om både nod i och nod j
är randnoder som ligger intill varann (eller sammanfaller).
Och eftersom gamma = 0 längs "golvet" kommer dessutom
t.ex. K_16 = 0.
Tillbaka till kurshemsidan.
|
