Introduktion
I det antika Grekland under tiden för Zenon, som levde någon gång
mellan 500-400 f.Kr., så var relationen mellan det diskreta och det
kontinuerliga ett stort filosofiskt problem inom matematiken. Ett
specifikt problem där det rådde delade meningar var huruvida rörelse
var diskret eller kontinuerlig. Två olika uppfattningar
dominerade. Den ena uppfattningen var att tid och rum var diskret, så
att det existerade några "minsta intervall" i tid och rum, vilka var
byggstenar för längre tids- och rumsintervall. Man förflyttade sig
därmed stegvis, ungefär som på film. Den andra uppfattningen var att
förflyttning var kontinuerlig, och att rum och tidsintervall kunde
göras hur små som helst.
Zenon accepterade ingen utav dessa
förklaringar, och för att krossa båda teorierna så gav han fyra
paradoxer. Två paradoxer attackerade den ena uppfattningen om diskret
rum och tid, och de två andra paradoxerna attackerade uppfattningen om
kontinuerlig tid. En utav de paradoxer som attackerade uppfattningen
om kontinuerlig rum och tid kallades "Akilles och sköldpaddan".
Det tog mer än 2000 år innan denna skenbara paradox kunde förklaras, och
detta genom att förstå konvergens hos oändliga geometriska serier.
Problembeskrivning
Zenons paradox kan beskrivas enligt följande: Antag att Akilles (som ju
var väldigt snabb) jagar en sköldpadda. Säg att det skiljer en viss
sträcka mellan dem vid tiden t=t0. Då Akilles kommer fram dit sköldpaddan var
vid t=t0, säg t=t1, så har sköldpaddan förflyttat sig en liten bit
under tiden t1-t0. När sedan Akilles kommer fram till den plats
sköldpaddan var vid tiden t1, säg t=t2, då har sköldpaddan hunnit
förflytta sig ytterligare en sträcka under tiden t2-t1. Eftersom
tidsintervallen kan göras hur små som helst så kan man fortsätta
resonemanget. Detta ger då sken av att Akilles aldrig kommer att
kunna springa om sköldpaddan, eftersom då han hunnit fram dit
sköldpaddan var nyss så har sköldpaddan förflyttat sig ytterligare en liten sträcka.
|