|
Lärare
Föreläsare, handledare och examinator:
Nils Svanstedt,
telefon: 772 5346, nilss@math.chalmers.se
Matematiska Vetenskaper
Jourräkning fredag 1 juni. Jag återkommer om tid och plats. Räkna igenom övningsskrivningen
nedan. Den är mycket relevant!!
Ingen föreläsning måndag 21 och torsdag 24 maj! Däremot är det räkneövning
i studion där ni jobbar med projektet och David Heintz hjälper till.
Övningsskrivning.
Skannade lösningar.
p1,p2,p3,p4,
p5,
p6,p7,p8,p9,
p10,p11
Kursbeskrivning
Kursen behandlar matematiska modeller i 1D och 2D
av processer där reaktion och produktion, samt
transportmekanismer som diffusion
och konvektion, ingår. Dessa modeller, som
typiskt baseras på
konservering av massa och värme samt vissa
konstitutiva samband,
utgörs av partiella differentialekvationer.
Huvudmomentet i kursen
består i att lära dig beräkna lösningar till dessa
ekvationer
med Finita Elementmetoden (FEM), vilken bygger på
approximation
med styckvisa polynom. Vi inleder kursen med att
studera styckvisa polynom och hur de kan användas för
att approximera givna funktioner. Vi går sedan
vidare och beskriver hur en approximation av den
okända lösningen till en differentialekvation kan
beräknas. Under kursens gång kommer du att få arbeta
med både teori, implementation av metoden, samt
modellering. Speciellt utvecklar du din egen
FEM-lösare i Matlab. Du kommer aven att lara Dig att
anvanda programvaran Puffin
från Body & Soul.
Kursen tar även upp en del grunder om funktionsserier.
Kursform
Föreläsningar (4 tim/v) plus övningar i datorstudio (4 tim/v).
Arbetet med inlämningsuppgifterna spelar en viktig roll under kursen
och ger genomgång av hela kursinnehållet från teori
till praktik.
Schema
Föreläsning:
Måndag 13-15, i KS41. Torsdag 13-15, i KS32.
Datorstudio:
Tisdag 13-15, i KD1. Fredag 8-10, i KD1.
Kurslitteratur
CDE Computational Differential Equations, Eriksson, Estep, Hansbo and Johnson, Studentlitteratur Publ.
Detaljerat kursprogram
Detaljerad (preliminär) plan:
LV1:
Föreläsning 1, måndag 13-15:
Vektorrummet av linjära funktioner på ett intervall. Vektorrummet av styckvis
linjära, kontinuerliga funktioner på ett intervall. Linjär interpolation.
Styckvis linjär, kontinuerlig interpolation. Interpolationsfeluppskattningar.
Bevis av interpolationsfeluppskattningar i max normen. Introduktion till L2-projektion.
Definition samt härledning av linjärt ekvationssystem. (Kap 5 i CDE valda delar)
Föreläsning 2, torsdag 13-15: Utgår
Studio 1, tisdag 13-15 och fredag 8-10:
Piecewise Polynomial Lab.
Om du vill kan du ladda ner
("Shift-klicka" på länkarna)
de två filer som behövs för
att köra PP Lab till din egen dator:
PP.fig
och PPmod.m.
Ovningsuppgifter pa interpolation och L2-projektion.
LV2:
Föreläsning 3, måndag 13-15:
Formulering och bevis av feluppskattningar av felet i L2-projektionen.
Finita element metoden (FEM). Definition och härledning av linjart ekvationssystem,
Kap 6 i CDE
Studiövning 3, tisdag 13-15: Genomgång av kvadraturformler
med tillämpning på numerisk beräkning av integraler samt beräkning av
ekvationssystem för L2-projektion.
Skapa en mapp Studio3 i din kurskatalog och ladda ned filerna
LoadVector.m och
MassMatrix.m till
denna mapp.
Du guidas sedan genom laborationen genom att klicka på
Kvadratur. L2-projektion.
Föreläsning 4, torsdag 13-15:
Fortsättning av: FEM.
Existens och entydighet samt feluppskattning i energinorm. Kap 6 i CDE
Studioövning 4,
fredag 8-10: Fortsatt arbete med Kvadratur. L2-projektion..
Sammanfattning Lv 1-2:
Vi har introducerat rummet V_h av kontinuerliga och styckvis linjära funktioner
på en indelning av ett intervall. Utvecklingen av en funktion v i V_h som
en linjärkombination av hatt-bas-funktioner är mycket viktig och kommer
att användas om och om igen.
Vi har studerat problemet: Givet en funktion f, finn en
approximation av f i V_h. Här har vi studerat tva olika metoder: interpolation och
L2-projektion.
Vi har studerat interpolation och bevisat feluppskattningar för
interpolationsfelet i maximum-normen. Vi har även studerat L2-projektion
och härlett ett linjärt ekvationssystem som används för att beräkna
denna. I analysen av L2-projektionen har vi visat en feluppskattning samt att
L2-projektionen existerar unikt. Teknikerna i beräkning och analys av
L2-projektionen kommer igen i FEM och är därför mycket viktiga moment.
Påskuppehåll!!!
LV3:
Forelasning 5, mandag 13-15 Robin randvillkor. Problemlösning FEM.
Studiovning 5, tisdag 13-15, Genomgang av Neumann och Robinvilkor i FEM.
Vi visar ocksa att Dirichlet villkor kan approximeras med Robinvillkor.
Sedan löser vi ett stationärt tvåpunkts randvärdesproblem med FEM.
Börja med att öppna, samt spara hos dig själv, funktionsfilerna
PoissonSolver1D.m och
PoissonAssembler1D.m
Du guidas nu igenom laborationen genom att klicka på
FEM i 1D
Föreläsning 6, torsdag 13-15: Framat och bakat Euler for numerisk losning av ordinara differential ekvationer.
Finit element diskretisering av tidsberoende problem.
Studioovning 6, fredag 8-10: FEM för Tidsberoende problem.
Genomgång av vad som krävs för Inlamningsuppgift 1 (dvs att ha en fungerande FEM-lösare för tidsberoende problem som
Du demonstrerar med en körning för Din lärare.)
LV4:
Forelasning 7 , mandag 13-15:
Problemlösning bland Räkneuppgifter lv1-lv3.
Studiovning 7, tisdag 13-15: Arbete med Tidsberoende problem.
samt Inlämningsuppgift 1.
Forelasning 8 , torsdag 13-15: Problemlosning. Gemensam rakning samt enskild rakning
bland Räkneuppgifter lv1-lv3.
Studiovning 8, fredag 8-10: Slutforande av arbete med Inlamningsuppgift 1.
LV5:
Föreläsning 9, torsdag 13-15:
Introduktion till tvådimensionella problem, triangulering,
basfunktioner. Stationära värmeledningsekvationen i 2D.
Formulering av FEM för Poisson problemet.
Ladda hem Robinrandvillkor 2D
Studioövning 9, fredag 8-10: Introduktion till
Puffin
Samt arbete med Session E1 i datorsessionerna
i Body & Soul.
LV6:
Föreläsning 10, måndag 13-15
Interpolation med formulering av feluppskattningar. L2-projektion,
härledning av ekvationssystem och feluppskattningar. Finita element metoden för tvådimensionella problem. Existens
och entydighet för fem lösningen. Feluppskattningar i energi och L2-normen.
Studioövning 10, tisdag 13-15:
Föreläsning 11, torsdag 13-15
Tidsberoende problem i 2D. Ladda hem
Tidsberoende problem i 2D
Studioövning 11, fredag 8-10
Arbete med Session E2 i datorsessionerna
i Body & Soul
LV7:
Föreläsning 12, måndag 14 maj 13-15:
Konvektions-diffusionsproblem och reaktions-diffusionsproblem.
Nu kan Du ladda hem en Övingsskrivning
samt
lösningar till uppgift 2 och 3.
Studioövning 12, tisdag 15 maj 8-13-15 : Arbete med
Sessionerna E3-E5 i datorsessionerna
i Body & Soul.
LV8:
Föreläsning 13, måndag 13-15: Utgår
Studioövning 13, tisdag 13-15:
Arbete med inlämningsuppgiften.
Föreläsning 14, torsdag 13-15: Utgår
Studioövning 14, fredag 8-10:
Arbete med inlämningsuppgiften.
Inlämningsuppgiften
Användande av Puffin for losning av valt problem.
En skriftlig redovisning skall lamnas in. Den skall innehålla
problembeskrivning. Modell (lämplig PDE). Variations- och FEM formulering.
Diskreta ekvationssystemet. Matlab-kod. Numerisk lösning (Visualisering). Kommentar
om lösningen och modellen.
Inspiration kan Du tex få om Du studerar innehället i sessionerna E3-E5 noga.
Under resterande studiopass kommer jag att presentera ett antal
exempelproblem och visa några tidigare rapporter.
Examination
1. Att bli godkänd på två obligatoriska
uppgifter. Uppgift 1 består i att skriva en tidsberoende FEM-lösare i en rumsdimension
och demonstrera en körning på denna vid dator. Uppgift 2 beskrivs ovan. Uppgifterna är individuella
men samarbete i grupp uppmuntras.
2. En skriftlig tentamen. Tentamensproblemen kommer att bygga
till stor del på räkneuppgifterna.
Tentamen i maj 2005
Räkneuppgifter och extra materiel:
lv1:
Räkneuppgifter lv1:
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv1:
ps-format och
pdf-format
lv2:
Räkneuppgifter lv2: (Kvadratur. L2-projektion.)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv2:
ps-format och
pdf-format
Kvadratur (1D):
ps-format och
pdf-format
Robinrandvillkor (1D):
ps-format och
pdf-format
lv3:
Räkneuppgifter lv3: (FEM.)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv3:
ps-format och
pdf-format
Tidsberoende problem (1D):
ps-format och
pdf-format
lv4:
Inga nya räkneuppgifter. Slutfor Inlamningsuppgift 1.
lv5:
Räkneuppgifter lv5: (Triangulering)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv5:
ps-format och
pdf-format
lv6:
Räkneuppgifter lv6: (Kvadratur, massmatris)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter lv6:
ps-format och
pdf-format
lv7:
Räkneuppgifter lv7: (2D)
ps-format och
pdf-format
Lösningar till Räkneuppgifter:
ps-format och
pdf-format
Gamla tentor Upplägget var lite annorlunda före 2005 men det går bra att öva på dessa:
Deltentamen: 2002-09-25
ps-format och
pdf-format
Lösningar till deltentamen: 2002-09-25
ps-format och
pdf-format
Deltentamen: 2002-04-25
ps-format och
pdf-format
Lösningar till deltentamen: 2002-04-25
ps-format och
pdf-format
Tentamen 2002-08-30
pdf-format
Tentamen 2002-06-01
ps-format och
pdf-format
Lösningar till tentamen: 2002-06-01
ps-format och
pdf-format
Tentamen 2002-01-14
ps-format och
pdf-format
Lösningar till tentamen 2002-01-14
ps-format och
pdf-format
Tentamen 2001-10-22
ps-format och
pdf-format
Lösningar till tentamen 2001-10-22
ps-format och
pdf-format
-->
| 
