Numerisk Differentiering

En dator kan inte göra någon formell gränsövergång, eftersom den bara arbetar med diskreta (ändliga) tal. Alltså kan vi inte beräkna derivatan av en funktion $f(x)$ exakt m.h.a. derivatadefinitionen. Vi kan emellertid approximera derivatan genom att välja $h$ litet, t.ex. $0.001$, och sedan beräkna kvoten

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

for ett givet värde på $x$ och för en given funktion $f(x)$. Antag, att $f(x)=x^2$ och att vi vill beräkna dess derivata på intervallet $0< x < 1$. Vi kan göra detta och dessutom rita den beräknade derivatan i Matlab med följande kod:

  h = 0.001
  x = 0:0.01:1
  y = ((x+h).^2-x.^2)./h
  plot(x,y)

Observera kodens struktur:

1. Deklarera konstanten $h$ och ge den värdet $0.001$.
2. Skapa en vektor som innehåller $100$ jämt fördelade $x$-värden mellan 0 och $1$.
3. Beräkna en vektor med approximativa värden på $y=f'(x)$.
4. Rita resultatet.

Exekvera dessa rader i Matlabs Command Window och jämför sedan grafen med den exakta derivatan $f'(x)=2x$.

Övning: Beräkna och rita approximativa derivator till följande funktioner $f(x)$.

a. $x^3$	b. $x+1$	c. $x(1-x)$	d. $e^{x}$
e. $\sin x$	f. $\cos 2x$	g. $x \sin 3\pi x$	h. $e^{-x^2}$

Övning: Försök att beräkna andraderivatan $f''(x)$ för $f(x)=\cos 2x$ på intervallet $0<x<4$, genom att använda approximationen

$$f''(x) \approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}.$$