Geometrisk summa

En geometrisk summa är en summa på formen

$$s = ap + ap² + ap³ + \ldots + ap^k,$$

för några värden på $a$, $p$ och $k$. Värdet på den här summan ges av den klassiska formeln

$$s = a + ap + ap^2 + ap^3 + \ldots + ap^k = a \frac{1-p^{k+1}}{1-p}.$$

Ett exempel på en sådan summa är

$$s = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{15}.$$

där $a=1$, $p=2$ och $k=15$. Vi kan använda en for-loop för att beräkna denna summa. Koden kan t.ex. se ut enligt följande

s = 0;
for i = 0:15
  s = s + 2^i
end

Summan $s$ börjas alltså på noll och sedan adderas successivt talen $2^0$, $2^1$, $2^2$, $\ldots$, $2^{15}$ till $s$ allteftersom loopindexen $i=0,1,2,\ldots, 15$ löps igenom.

Observera att vi har skapat indexvektorn i med bara ett kolon. Det är det mittersta talet som tagits bort. Detta tal ges då automatiskt värdet $1$.

Övning: Här är ett program, som beräknar geometriska summor

a = 1;
p = 2;
k = 15;
s = 0;
for i = 0:k
  s = s + a*p^i
end

Ändra $a$, $p$ och $k$ så att du kan beräkna den geometriska summan

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\ldots+\frac{1}{2^{12}}.$$

Kontrollera att svaret stämmer genom att beräkna $$\frac{1-0.5^{13}}{1-0.5}$$.