Derivata

Derivatan av en funktion $f(x)$ kan formellt definieras

$$f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Om t.ex. $f(x)=x^2$ innebär detta att

$$f(x+h)-f(x) = (x+h)^2-x^2 = x^2 + 2hx + h^2-x^2 = 2hx + h^2,$$

dvs.

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{2hx + h^2}{h} = 2x + h.$$

Går vi slutligen i gräns med $h$ fås

$$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} 2x + h = 2x.$$

Derivatan av $x^2$ är tydligen $2x$, som du nog redan vet.