Senaste nytt: Uppsatser av deltagarna

Föreläsare och examinator: Olle Häggström.

Denna kurs är tänkt att ta upp ett antal inriktningar av diskret Markovteori. Några särskilda förkunskaper krävs inte utöver vad vi vanligen begär av de doktorander vi antar till forskarutbildningen i matematisk statistik, men det är en fördel att i något sammanhang ha bekantat sig med Markovkedjor på grundkursnivå.

Kurslitteraturen kommer att bestå av följande:

• En del föreläsningsanteckningar, som kommer att utvecklas i takt med med att kursen fortskrider. Här är senaste versionen (20 oktober) i postscript-format.

• Rekommenderad bredvidläsning är den ypperliga monografin Random Walks and Electric Networks av P.G. Doyle och J.L. Snell, som kan köpas här, eller laddas hem gratis här.

Två föreläsningar i veckan - måndagar 10-12 och torsdagar 13-15 - kommer att ges med start måndagen den 6 september, och avslutning torsdagen den 21 oktober. Rum S1, Matematiskt centrum.

Föreläsning 1: Grundläggande definitioner. Diskret och kontinuerlig tid. Diskreta och kontinuerliga tillståndsrum. Explosioner och annat knepigt.	måndag	6 september	10.00-11.45	S1
Föreläsning 2: Mer om explosioner. Stationära fördelningar.	torsdag	9 september	13.15-15.00	S1
Föreläsning 3: Existens av stationära fördelningar. En sats av STL-typ (Stora Talens Lag) för Markovkedjor.	måndag	13 september	10.00-11.45	S1
Föreläsning 4: Bevis av förra föreläsningens STL-sats. Entydighet hos stationära fördelningar.	torsdag	16 september	13.15-15.00	S1
Föreläsning 5: Mer om STL-beteende och om konvergens mot stationär fördelning.	måndag	20 september	10.00-11.45	S1
Obs! Ingen föreläsning torsdagen den 23 september!
Föreläsning 6: Centrala gränsvärdessatsen för ändliga Markovkedjor.	måndag	27 september	10.00-11.45	S1
Föreläsning 7: Reversibilitet, slumpvandring, och viktad slumpvandring.	torsdag	30 september	13.15-15.00	S1
Obs! Ingen föreläsning måndagen den 4 oktober!
Föreläsning 8: Mer om reversibilitet.	torsdag	7 oktober	13.15-15.00	S1
Föreläsning 9: MCMC. Träffsannolikheter i slumpvandringar.	måndag	11 oktober	10.00-11.45	S1
Föreläsning 10: Slumpvandringar och likströmskretsar.	torsdag	14 oktober	13.15-15.00	S1
Föreläsning 11: Rayleighs Monotonitetsprincip.	måndag	18 oktober	10.00-11.45	S1
Föreläsning 12: Rekurrens kontra transiens i d dimensioner.	torsdag	21 oktober	13.15-15.00	S1
Skriftlig tentamen	fredag	22 oktober	13.15-17.15	S4

Examinationen består av två delar:

• Skriftlig tentamen fredagen den 22 oktober (se schemat ovan).

• Författandet av en uppsats som helst bör omfatta (minst) ca 7-10 sidor om lämpligt delområde av Markovteorin. Delområdet beslutas i samråd med mig. Uppsatsen skall ge en läsvärd genomgång av känd teori och kända resultat, med eller utan bevis/bevisskisser beroende på vad som lämpar sig för presentation. Den får gärna också (men behöver inte) innehålla visst originalmaterial, t.ex. simuleringsstudier. Vad gäller nivån på presentationen bör ambitionen vara att era kurskamrater med behållning skall kunna läsa det ni skrivit. Uppsatsen skall vara inlämnad före jul. Om jag får dem i ps- eller pdf-format kan jag anslå dem på denna kurshemsida, till nytta och nöje för oss alla. För dem som ännu inte bestämt sig för ett område att skriva om, här är några förslag.
  • Något om Markov chain Monte Carlo, se t.ex. Gilks, W., Richardson, S. and Spiegelhalter, D. (1996) Markov Chain Monte Carlo in Practice, Clarendon, Oxford.

  • Studium av könätverk är en stor industri. En introduktion ges t.ex. av Søren Asmussen i antologin Networks and chaos - statistical and probabilistic aspects (red. Barndorff Nielsen, O.E., Jensen, J.L. och Kendall, W.S.), Chapman and Hall, 1993. Det vackraste resultatet på området, enligt min mening, återfinns i Maury Bramsons uppsats Instability of FIFO queueing networks från 1994 (Annals of Applied Probability 4, 414-431).

  • En matematiskt intressant klass av Markovkedjor är de så kallade stokastiska itererade funktionssystemen, där en forskargrupp i Umeå ledd av Hans Wallin länge hört till de ledande; se t.ex. Örjan Stenflos arbeten. Barnsley (1993) Fractals Everywhere (2nd ed) ger en läsvärd introduktion till området.

  • Slumpvandring på perkolationskluster är ett matematiskt spännande och fysikaliskt välmotiverat område. Till "klassikerna" kan vi räkna uppsatser av Grimmett, Kesten & Zhang (PTRF 1993) och Benjamini, Pemantle & Peres (Annals of Probability 1998), och till de mest spännande senare genombrotten hör ett arbete av Berger, Gantert & Peres (PTRF 2003).

  • Vikten av kopplingsmetoder inom Markovteorin kan knappast överskattas. Koppling av Markovkedjor behandlas utförligt av vår egen Torgny Lindvall (Lectures on the Coupling Method, Wiley 1992, nytryck av Dover 2002). Jag har själv kopplat en hel del, och vill i detta sammanhang gärna framhålla exemplet i Häggström (2001) A Note on Disagreement Percolation, Random Structures and Algorithms 18, 267-278 som både instruktivt och ganska festligt.

  • En spänstig generalisering av Markovkedjor fås om man låter tiden grena ut sig i en trädstruktur, se Benjamini, I. & Peres, Y. (1994) Markov chains Indexed By Trees, Annals of Probability 22, 219-243.

  • Hur lång tid tar det att blanda en kortlek? Detta kan med fördel analyseras med Markovkedjor, och det finns en hel del litteratur på området. Främste experten här på institutionen är Johan Jonasson.

  • Richardsonmodellen, som studerades i Föreläsning 2, kan utvidgas till att omfatta två eller flera typer av smitta som konkurrerar med varandra, vilket leder till spännande frågor om möjligheten till samtidig överlevnad hos olika typer. Detta har jag arbetat med i ett par uppsatser med Robin Pemantle och en med Mia Deijfen; se även Coexistence in two-type first-passage percolation models av Olivier Garet och Régine Marchand, för ett aktuellt framsteg.

  (Jag välkomnar naturligtvis även initiativ i andra riktningar än dessa.)

Godkänd examination ger 5 poäng i doktorandutbildningen.

Jag upprätthåller en epostlista över kursdeltagare och andra intresserade: den som vill vara med på denna lista (vilket bland annat ger möjlighet att påverka schemat) kan höra av sig till mig.