SMS-mötet i Karlstad 25-26 nov 2005: abstracts

Hinderproblem och amerikanska optioner
Teitur Arnarson, KTH

I finansiell matematik används ofta sannolikhetsteori för att modellera men PDE-teknik för lösa problem. Här presenteras hur teorin om hinderproblem är tillämpbar på amerikanska optioner.

Diracoperatorer, Cauchyintegralen och Katos kvadratrot
Andreas Axelsson, Paris-Sud

Jag ska presentera gemensam forskning med Alan McIntosh och Stephen Keith vid Australian National University angående "Quadratic estimates and functional calculi of perturbed Dirac operators".

De störda Diracoperatorerna som nämns i titeln ar av formen $\Gamma + B^{-1} \Gamma^* B$, betraktad som en obegränsad operator i ett Hilbertrum $L_2(\R^n ; \C^N)$. Här är $\Gamma$ och dess adjunkt homogena PDO av första ordningen med konstanta coefficienter, den ostörda Diracoperatorn $\Gamma + \Gamma*$ är elliptisk och $\Gamma^2 = 0$. Operatorn $B$ som vi stör adjunkten med är en begränsad och accretiv multipikationsoperator utan någon som helst regularitet. Med andra ord, funktionen $B(x)$ är enbart Lebesguemätbar.

Efter en kort presentation av detta resultat ska jag förklara hur det är relaterat till: 1. Coifman-McIntosh-Meyer's resultat att Cauchyintegralen på en Lipschitzkurva definierar en $L_2$-begränsad operator, och mer generellt $T(b)$-kriteria för att en singulär integraloperator är begränsad. 2. Tosio Katos problem huruvida kvadratroten ur en andra ordningens elliptisk divergensform PDO har $H^1$ som definitionsmängd. Efter att ha genererat mängder av spinoffmatematik inom harmonisk analys under de senaste decennierna löstes detta problem slutligen 2001 av Auscher, Hofmann, Lacey, McIntosh och Tchamitchian.

Vårt resultat att störda Diracoperatorer har en begränsad funktionalkalkyl är inspirerat av och en vidareutveckling av de metoder som användes i beviset av Katos problem, och jag ska försöka förklara hur 1. och 2. ovan kan ses som specialfall.

Beräkningsbar analys
Fredrik Dahlgren, Uppsala

Antag att vi vill utföra beräkningar på en överuppräknelig struktur som kroppen av reella tal $\mathbb{R}$. Elementen i $\mathbb{R}$ saknar i allmänhet en ändlig beskrivning och är därför inte direkt lämpade som indata till dagens datorer. (En utmärkande egenskap hos dagens datorprogram är att de endast arbetar med "konkreta" objekt som har en ändlig beskrivning.) Vi kan därför inte hoppas på att utföra beräkningar direkt på $\mathbb{R}$.

Vi kan som bäst utföra beräkningar på ändliga approximationer av reella tal. Om dessa approximationer är sådana att varje reellt tal kan fås som ett gränsvärde av sina approximationer så kan vi lyfta teorin för beräkningar på approximationer av rella tal till en teori för beräkningar på $\mathbb{R}$.

En enkel analys av approximationsbegreppet leder på ett naturligt sätt till en klass av strukturer som kallas för (algebraiska) domäner. Jag kommer att säga något om motivationen bakom dessa strukturer samt prata om hur de kan användas för att analysera beräkningar på topologiska rum.

Multiplikativ struktur hos lösningar till system av linjära PDE och Levi-Civitas ekvivalensproblem
Jens Jonasson, Linköping

Cofaktorparsystem är en typ av dynamiska system på Riemannska mångfalder som har många intressanta egenskaper, bl.a. är dom ekvivalenta med Lagrangeska system som tillåter variabelseparation. Cofaktorparsystem kan konstrueras genom en märklig multiplikativ struktur hos de s.k. kvasi-Cauchy-Riemannska ekvationerna $(\mathrm{Cof} J)^{-1}\nabla V = (\mathrm{Cof}\tilde{J})^{-1}\nabla \tilde{V},$ där $J$ och $\tilde{J}$ är speciella konforma Killingtensorer.

Jag ska prata om hur man kan karakterisera system av första ordningens PDE som tillåter denna form av multiplikation. Ekvationen $X\nabla\det{X}=\det{X}\nabla\mathrm{tr} X$ spelar en central roll i karakteriseringen, och jag kommer att presentera flera egenskaper hos denna ekvation som möjliggör konstruktion av nya system med den beskrivna multiplikativa strukturen. Jag kommer också att diskutera hur cofaktorparsystem, och deras relaterade multiplikation, är nära förknippade med Levi-Civitas ekvivalensproblem för dynamiska system.

Generaliserade deriveringar, algebra och (icke-kommutativ) geometri
Daniel Larsson, Lund

Att deriveringar är oumbärliga inom matematiken är knappast någon nyhet. Vad som kanske inte är lika uppenbart är hur fundamentala deriveringar är i så (tillsynes) vitt skilda grenar som t ex Galois teori, representationsteorin för Lie grupper och Lie algebror, och (naturligtvis) analys. Vad som inte är lika känt är att generaliserade deriveringar, så kallade $\sigma$-deriveringar, också uppträder naturligt inom en rad områden som ringteori, kvantgrupper, matematisk fysik och numerisk analys. En $\sigma$-derivering är en linjär avbildning $\ps$ på en lämplig (t ex funktions-) algebra $\A$ uppfyllandes en deformerad Leibnizregel: $$\ps(ab)=\ps(a)b+\sigma(a)\ps(b),$$ där $\sigma$ är en endomorfi på $\A$.

Jag kommer att diskutera en metod att deformera Lie algebror via deras representationer som deriveringar, genom att ersätta deriveringarna med $\sigma$-deriveringar. De därigenom uppkomna strukturerna är exempel på algebror som kallas \emph{quasi-Lie algebror} och är sådana att de generaliserar de algebraiska strukturer som är kopplade till ordinära deriveringar. Studiet av dessa nya algebraiska strukturer väntas därför vara mycket viktigt för att förstå $\sigma$-deriveringar och deras tillämpningar. Naturliga algebror fallandes i klassen av quasi-Lie algebror är t ex $q$-deform\-erade Witt och Virasoro algebror och färgade Lie algebror. Förutom ovanstående exempel kommer jag att belysa kopplingar till både icke-kommutativ algebraisk geometri och icke-kommutativ differentialgeometri.

Hinderproblemet och andra fria randvärdesproblem
Erik Lindgren, KTH

Det så kallade hinderproblemet och dess varianter har vitt spridda tillämpningsområden i t ex fysik, elektronik och supraledning. Gemensamt är att vi har en ``fri rand'', dvs en en okänd mängd, vars egenskaper är av stort intresse. Det man först och främst studerar är 1) regulariteten hos lösningen (dvs funktionen) och 2) regulariteten och andra egenskaper hos den fria randen (ofta en nivåkurva/yta för funktionen). En kort introduktion av det klassiska hinderproblemet ges vilket följs av en presentation av några fria randvärdesproblem och resultat däromkring.

Medicinska bilder och fraktal geometri
Anders Nilsson, Umeå

Bakgrunden till de matematiska problem jag håller på med handlar om analys av icke-invasiva medicinska bilder, dvs bilder som framställts utan att man skär upp kroppen (tex mammogram). Sådana bilder uppvisar ofta sk "fraktala" egenskaper, varav självlikformighet är en av de viktigaste.

Det vanligaste sättet att karakterisera en mängd med avseende på fraktala egenskaper är att beräkna någon slags fraktal dimension. Vissa forskare påstår att cancertumörer har en annan fraktal dimension än normal muskelvävnad, men dessa resultat är omtvistade.

Den här presentationen handlar i första hand om vad man kan mena med fraktal dimension, och egenskaper hos olika slags dimensioner. Jag tänkte också säga något om dimensioner i samband med projektioner. Detta är aktuellt eftersom många medicinska bilder framställs med någon typ av projektion, tex vid röntgen.

Mean value surfaces with prescribed curvature form
Yolanda Perdomo, Lund

The Gaussian curvature of a two-dimensional Riemannian manifold is uniquely determined by the choice of the metric. The formulas for computing the curvature in terms of components of the metric, in isothermal coordinates, involve the Laplacian operator and therefore, the problem of finding a Riemannian metric for a given curvature form may be viewed as a potential theory problem. This problem has, generally speaking, a multitude of solutions. To specify the solution uniquely, we ask that the metric have the mean value property for harmonic functions with respect to some given point. This means that we assume that the surface is simply connected and that it has a smooth boundary. In terms of the so-called metric potential, we are looking for a unique smooth solution to a nonlinear fourth order elliptic partial differential equation with second order Cauchy data given on the boundary. We find a simple condition on the curvature form which ensures that there exists a smooth mean value surface solution. It reads: the curvature form plus half the curvature form for the hyperbolic plane (with the same coordinates) should be $\le0$. The same analysis leads to results on the question of whether the canonical divisors in weighted Bergman spaces over the unit disk have extraneous zeros. Numerical work suggests that the above condition on the curvature form is essentially sharp. Our problem is in spirit analogous to the classical Minkowski problem, where the sphere supplies the chart coordinates via the Gauss map. This is joint work with Håkan Hedenmalm.

Asymptotisk analys av en icke-linjär partiell differentialekvation i en halvcylinder
Peter Rand, Linköping

Små lösningar till en icke-linjär partiell differentialekvation i en halvoändlig cylinder kommer att studeras. Vi undersöker lösningarnas asymptotiska uppförande i oändligheten under såväl Neumann- som Dirichletrandvillkor. I Neumannfallet kan man visa att varje tillräckligt liten lösning antingen försvinner i oändligheten eller närmar sig en periodisk lösning till en ickelinjär ordinär differentialekvation. I Dirichletfallet kommer varje tillräckligt liten lösning att försvinna.

Formoptimering inom mekanik
Andreas Rietz, Linköping

Det blir allt mer populärt att utföra någon form av optimering när man utvecklar mekaniska konstruktioner. Allt fler kommersiella datorprogram utvecklas som stöd för optimering inom mekanik. Tyvärr är matematiken för dessa optimeringsproblem inte fullt utvecklad. Många utmaningar återstår, både att försöka matematiskt förstå den heuristik som har utvecklats och att försöka utveckla de optimeringsverktyg som används.

Jag ska speciellt beskriva hur man undviker kompositmaterial i sina konstruktioner. I många optimeringsproblem så visar det sig att det inte är tillräckligt att använda "vanliga" material, som tillexempel stål, utan den optimala strukturen innehåller någon form av komposit. Detta är inte önskvärt ur tillverkningssynpunkt, så man försöker undvika sådana lösningar genom att modifiera optimeringsproblemet eller att ta med ytterligare bivillkor.

Små världar och mörka nätverk
Oskar Sandberg, Chalmers

Det så kallade "världen är liten" fenomenet - att vi alla kan kopplas samman genom en kort serie vänner - har sedan länge blivit en del av vår folkliga tradition och populärkultur. Men det är bara på senare år som det har uppkommit matematiska modeller som kan förklara denna typ av nätverks dynamik. Talet handlar om frågan hur man navigerar i sådana små världar. För att göra detta krävs det inte bara att korta väger finns mellan vilka två personer som helst, utan även att det går att hitta dem effektivt. Hur det kan vara möjligt besvarades först av Jon Kleinberg för fem år sedan. Med hjälp av hans modell presenteras nya algoritmer för hur man kan lära datorer att hitta i små världar, och därmed uppstår möjligheten att bygga stora, krypterade, "mörka" dator-nätverk.

Hur gör man matematik med datorer?
Warwick Tucker, Uppsala

Hur fel räknar en dator egentligen? Den frågan kan tyckas vara underlig med tanke på den enorma utvecklingen som skett inom datortekniken de senaste femtio åren. Gårdagens superdatorer bleknar i jämförelse med dagens hemdatorer. Men räknar moderna datorer mer noggrannt än deras äldre versioner? Svaret är nej - på den fronten har utvecklingen i princip stått stilla i flera decennier. Våra datorer räknar alltså precis lika fel som förr i tiden, fast mycket snabbare förstås.

Denna föreläsning kommer att fokusera på s.k. själv-validerande numeriska metoder, där man genom en särskilt slags matematik syftar till att åstadkomma rigorösa bevis med hjälp av datorer.

Genom att utföra kalkyler med mängder (t.ex. intervall) istället för med enskilda tal kan man fånga viktiga egenskaper hos de reella talen med enbart ändligt mycket information. Detta leder till nya numeriska algoritmer som är mycket robusta och levererar matematiskt korrekta resultat. Detta är särskilt viktigt i en tid då de modeller och datorsimuleringar som används inom t.ex. ekonomi och naturvetenskap blir alltmer komplicerade. På längre sikt syftar denna slags forskning även till att skapa en ny generation datorer som räknar korrekt i matematisk mening.

Kontinuumperkolation på den hyperbola skivan
Johan Tykesson, Chalmers

Låt $X$ vara en Poissonprocess på den hyperbola skivan ${\mathbb H}^2$ med intensitet $\lambda$. Kring varje punkt i $X$ placeras en sluten boll med radie ett. Den del av ${\mathbb H}^2$ som härvid täcks av bollar betecknas med $C$. Låt $N_C$ vara antalet oändliga sammanhängande komponenter av $C$. Jag kommer att presentera ett resultat som säger att det finns två distinkta intensiteter $\lambda_c$ och $\lambda_u$ sådana att $0<\lambda_c<\lambda_u<\infty$ med egenskapen att $N_C=0$ om $\lambda<\lambda_c$, $N_C=\infty$ om $\lambda_c<\lambda<\lambda_u$ och slutligen $N_C=1$ om $\lambda>\lambda_u$. Det är tidigare känt att för motsvarande modell i ${\mathbb R}^2$ finns endast två faser för antalet oändliga komponenter; en där $N_C=0$ och en där $N_C=1$. I presentationen kommer kopplingar till vanlig perkolation på grafer att belysas.

Normal discrete velocity models of the Boltzmann equation and their construction (for single gases and binary gas mixtures)
Mirela Cristina Vinerean, Karlstad

Normal discrete velocity models of the Boltzmann equation and their construction (for single gases and binary gas mixtures) Classical kinetic theory of gases is based on the Boltzmann equation (BE) which describes the evolution of a system of equal particles undergoing collisions preserving mass momentum and energy. Discretization methods have been developed on the idea of replacing the original BE by a finite set of nonlinear hyperbolic PDEs corresponding to the densities linked to a suitable finite set of velocities. The discrete BE is easier to analyse both from mathematical and numerical point of view. Discretization methods involve several problems, many of them still open, which are a challenging research field of applied mathematics. One of such problems is the construction and classification of normal discrete kinetic models (DKMs), i.e. models fulfilling only physical conservation laws.

In our work, we first develop a general algorithm for the construction and classification of DKMs. We apply this method in the particular cases of inelastic and elastic models. Using the results on normal models for a single gas, we develop a method for the construction of a special class of normal discrete velocity models (DVMs) for binary gas mixtures.

In this talk, I am going to present some of our results for the construction of normal DVMs, both for single gases and binary gas mixtures.

Om rummet av cykliskt trigonala Riemannytor av genus 4
Daniel Ying, Linköping

En sluten Riemannyta som kan realiseras som en 3-bladig övertäckning av Riemannsfären kallas trigonal och en sådan övertäckning kallas för en trigonal morfi. Om den trigonala morfin är en cyklisk reguljär övertäckning kallas Riemannytan för en cyklisk trigonal Riemannyta. Genom att använda karaktäriseringen av cyklisk trigonalitet genom Fuchsiska grupper, beskriver vi strukturen av rummet av cykliskt trigonala Riemannytor av genus 4.