SMS-mötet i Uppsala 1-2 dec 2006: abstracts

Några samspel mellan talteori och dynamiska system
Andreas Strömbergsson

Jag kommer att ge flera exempel där dynamiska system spelar en nyckelroll för resultat inom talteori, och vice versa. Framförallt kommer jag att uppehålla mig vid RATNERS SATS om unipotenta flöden på homogena rum. Denna sats har visat sig ha flera uppmärksammade tillämpningar på olika talteoretiska problem. Jag kommer även att diskutera hur - i omvänd riktning - talteori kan användas för att ge viktiga förstärkningar av Ratners sats i vissa specialfall.

Minimal perfekt matchning på bipartita grafer
Martin Hessler

Aldous (2000) visade rigoröst hur den asymptotiska minimala matchningen på en bipartit graf med exponentialfördelad kantkostnad kan betraktas som en matchning på ett oändligt träd där kanter föds som i en poissonprocess. En känd generalisering av den perfekta matchningen med exponentialfördelad kantkostnad är att sätta kostnaden för en given mängd kanter till noll. Direkt beräkning utifrån den ickerigorösa trädmodellen sammanfaller med kända resultat. Implikationer av detta och möjligheter till ytterligare generalisering diskuteras.

Rumsdynamik för solitära ytvågor över strömt vatten
Erik Wahlén

Länge har man inom den matematiska teorin för vattenvågor koncentrerat sig på irrotationella flöden. Lite förenklat kan man säga att detta betyder att eventuella underliggande strömmar är oberoende av höjden. Intresset för rotationella vattenvågor har dock ökat på senare år. I vårt arbete har vi använt rumsdynamiska metoder för att studera rotationella solitära vågor. Detta innebär att vi formulerar problemet som ett oändligtdimensionellt Hamiltonskt system, där den obegränsade rumsvariabeln har rollen som tidsvariabel. Sedan används ändligtdimensionell reduktion för att ersätta systemet med ett lokalt ekvivalent Hamiltonskt system med ändligt många frihetsgrader. Genom olika metoder för dynamiska system finner vi homokliniska lösningar till det reducerade systemet, som motsvarar solitära vattenvågor med liten amplitud. Arbetet är ett samarbete med Mark Groves från Loughborough University.

Kontaktprocessen i slumpmässigt uppdaterande miljö
Marcus Warfheimer

Den s k kontaktprocessen är en välstuderad sannolikhetsbaserad modell för smittospridning, både av matematiker och biologer. Jag kommer prata om en generalisering av denna då man inför en bakgrundsprocess som påverkar tillfrisknandet av individerna.

Begränsningen av unika p-gonala morfier på Riemannytor
Daniel Ying

En sluten Riemannyta X som kan ses som en p-bladig övertäckning av Riemannsfären kallas p-gonal och en sådan övertäckning kallas för en p-gonal morfi. Accola (1984) visade att p-gonala Riemannytor av genus större än (p-1)^2 endast tillåter en unik p-gonal morfi. Den här presentationen visar att Accolas begränsning är strikt genom att bevisa existensen av en Riemannyta av genus (p-1)^2 med två olika p-gonala morfier.

On roots of eigenpolynomials for exactly-solvable operators
Tanja Bergkvist

Abstract i pdf-format.

Matematisk formulering av mekaniska friktionsproblem
Andreas Rietz

En viktig komponent i den matematiska formuleringen av kontakt och friktionsproblem är de funktionsrum i vilka de ingående storheterna ingår, tillexempel krafter och förskjutningar. Olika val av funktionsrum och regulariseringar av de fysikaliskarna lagarna gör att resultatet blir mer eller mindre fysikaliskt rimligt, och det blir mer eller mindre svårt att bevisa problemets egenskaper. Några olika exempel på friktions och kontaktmodeller demonstreras.

En klass av semilineära ekvationer: positiva och radiella lösningar med föreskrivet asymptotiskt beteende
Mats Ehrnström

Vi studerar den semilineära elliptiska ekvationen $\Delta u + f(x,u) + g(|x|) x \cdot \nabla u = 0$ i en radiell domän $|x| > A \geq 0$. Speciellt söker vi positiva lösningar, försvinnande i oändligheten. I särskilda fall kan studiet av radiella lösningar reduceras till en klass av ordinära differentialekvationer. Vi visar att flera asymptotiska egenskaper kan föreskrivas ODE-lösningarna. Genom över- och underlösningar påvisas önskade allmänna lösningar till den ursprungliga ekvationen. Med hjälp av skarpa maximalprinciper - och i traditionen efter Nirenberg - presenterar vi sedan villkor för att alla lösningar skall vara radiella.

Topological combinatorics
Alexander Engström

To a graph G one can associate a topological space T(G) in many ways, and a couple of successful constructions will be described.

Brownian approximation in the Kac model
Mattias Sundén

The Kac model is a caricature of the Boltzmann equation and considers the evolution of N one dimensional velocities under constant energy. By randomly choosing a pair i,j and an angle \theta\in(-\pi,\pi]

${\bf v}=(v_1,...v_N)$

changes after an exponential holding time to

$R_{i,j}(\theta)({\bf v}) =(v_1,...v_i\cos\theta+v_j\sin\theta,...,v_j\cos\theta-v_i\sin\theta,...v_N)$

This means that the Kac model constitutes a Markov process on the $N$-dimensional sphere of radius $\sqrt{N}$ with infinitesimal generator

$\sum_{i less than j}\int_{-\pi}^{\pi}[f(R_{i,j}(\theta)({\bf v}))-f({\bf v})]\rho(\theta)d\theta$

In the model considered by Kac angles are uniformly distributed i.e $\rho(\theta)=(2\pi)^{-1}$. In our work we consider the Kac model with $\rho(\theta)=|\theta|^{-\alpha-1}$, for $\alpha\in(1,2)$. Simulating such a model introduces problems due to the singularity of $\rho$. The standard method of simulating such a process would be to just truncate $\rho$ at some $\varepsilon>0$. Inspired by Asmussen and Rosinski, we use a method where we replace what is lost from truncation with a Brownian motion. It turns out that this approximation method yields a convergence rate to the model with singular $\rho$ that is considerably faster than the convergence rate of the truncated model.