Fourieranalys

Under 2006 föreläste jag två upplagor av kursen Fourieranalys i Lund, Matematik NF. Som kursmaterial, jämte ett kompendium av C. Bennewitz, skrev jag följande föreläsningsanteckningar.

Föreläsningsanteckningar i Fourieranalys

Innehållsförteckning:

  1. Introduktion. Reell och komplex form. Formler för Fourierkoefficienter.
  2. Funktionsrummen L_1 och L_infty. Jämforelse mellan olika normer och konvergens. Faltning.
  3. Punktvis konvergens. Dirichletkärnan. Dinis sats. Riemann-Lebesgues lemma.
  4. Fourierkoefficienterna bestämmer funktionen entydigt nästan överallt. Approximativa enheter.
  5. Funktionsrummet L_2. Cauchy-Scharz olikhet. Jämforelse med L_1, L_infty. Ortogonal projektion.
  6. Parsevals formel. Bessels olikhet. Fullständighet. Cauchyföljder.
  7. Likformig konvergens för Fourierserien till en styckvis C^1 funktion. Gibbs fenomen. Sammanfattning av konvergensresultat.
  8. Vågekvationen. Variabelseparation. Stående vågor. Dirichlet- och Neumannproblemet.
  9. Värmeledningsekvationen. Blandade randvillkor.
  10. Laplaces ekvation på enhetsskivan. Periodiska randvillkor. Poissonkärnan.
  11. Fouriertransformen. Inversionsformeln. Dirichletkärnan.
  12. Plancherels sats: F är isometrisk och bijektiv på L_2. Faltning.
  13. Differential- och integralekvationer. Fouriertransformmetoden.