Integrationsteori:
Riemann vs. Lebesgue
Den integrationsteori som vanligen undervisas i grundläggande
envariabel- och flervariabelanalyskurser vid universiteten använder
sig av den så kallade Riemannintegralen. Å andra sidan används
Lebesgueintegralen så fort man går bortom dessa inledande kurser,
till stor förvirring för studenter. Ett stort problem för studenten
är att Lebesgueintegralen inte bygger vidare på Riemannintegralen,
utan man tvingas glömma bort det man lärt sig om Riemannintegralen
och till stor del börja från början med Lebesgueintegralen.
Inspirerad av Böiers-Claessons "Analys för funktioner av flera
variabler" från Lund 1986, skrev jag under augusti månad 2006 ett
kompendium som utvecklar en pre-Lebesgueintegrationsteori
som jag anser helt kan och bör ersätta Riemannintegralen inom
grundläggande integrationsteori. Läsaren kanske tycker att detta är
drömmerier, då Lebesgueintegralen är en tekniskt komplicerad
historia. Här är mitt försvar. Jag pratar inte om att undervisa hela
Lebesgueintegrationsteorin på grundnivå, jag säger pre-Lebesgueintegral. I
praktiken behöver man endast integrera (styckvis) kontinuerliga
funktioner, och för detta behöver man endast definiera måttet av
öppna mängder (mängden under grafen till funktionen), vilket lätt
låter sig göras. Detta till skillnad från den fulla
Lebegueintegralen, som kan hantera varje tänkbar funktion, och för
detta behöver man definiera måttet av varje tänkbar mängd.
Fördelarna med pre-Lebegueintegralen över Riemannintegralen är
många.
- Efter en kurs om pre-Lebegueintegralen är man redan halvvägs
på väg mot den fulla Lebegueintegralen, istället för att ha gått
in i Riemannintegralens återvändsgränd. Man utökar helt enkelt
definitionsmängden för måttet från de öppna mängderna till helt
godtyckliga mängder.
- För den teoretiskt intresserade studenten får man redan med
pre-Lebesgueintegralen en betydligt mer tillfredställande teori
än med Riemannintegralen. Bra exempel på detta är teorin om
generaliserade integraler, itererad integration samt
nollmängder.
- För den praktiskt lagde studenten är det betydligt enklare att
förstå en definition av integralen såsom arean/volymen under
grafen, än ett resonemang med trappfunktioner (Riemannintegral)
och dylikt. Sen är ju frågan vad area/volym är, men det torde
inte oroa denna student, utan kan sopas under mattan.
Här finns detaljerna att läsa:
Integrationsteori
för kontinuerliga funktioner av flera variabler
Framsidan och sidan
två. Se staplar-nisse i farten!
Kompendiet innehåller alla teoretiska detaljer för en fullständig
uppbyggnad av pre-Lebesgueintegralen. Men givetvis kan denna
integrationsteori läsas och undervisas på ett icke-teoretiskt sätt.
Under min undervisningi Lund fick jag detta bekräftat med råge!
Poängen är att teorin i kompendiet är baserad på ett par
grundläggande begrepp och resultat som "måttet av öppna mängder",
"skivformeln" och "stavformeln", som man lätt som lärare kan
förklara för studenterna utan att gå in på detaljer, då resultaten
är intuitivt uppenbara. Alla vet (tror sig veta?) vad volymen av en
kropp är!
Då jag får tid framöver planerar jag att skriva ett kompendium som
bygger upp den fullständiga Lebesgueintegrationsteorin, som en
fortsättning på kompendiet ovan. Jag planerar även att skriva en
version av kompendiet som är "icke-teoretiskt".
I oktober 2011 höll jag ett seminarium vid MAI, Linköping, om dessa
idéer. Mina anteckningar har ni här:
Riemann eller Lebesgue?