I kursen i flervariabelanalys har man stiftat bekantskap med rum med en avståndsfunktion d(x,y) = |x-y| för vektorer i R^n. Sådana rum kallas metriska rum. Med hjälp av avståndet kan man definiera begreppet epsilon-boll och därmed såväl öppna och slutna mängder som kontinuerliga funktioner.
I ämnet topologi distanserar man sig från avståndsbegreppet och utgår istället från en samling delmängder till en fix mängd (det topologiska rummet) och kallar dessa öppna. Från detta begrepp bygger man upp teorin för topologiska rum och kontinuerliga funktioner. Klassen av topologiska rum är mycket större än den av metriska rum.
Många begrepp för metriska rum sätts därigenom in i ett större sammanhang och får en klarare belysning. Exempelvis är sekvenskompakt och kompakt ekvivalenta begrepp för metriska rum men inte för topologiska rum i allmänhet. Vidare ger den vidgade klassen möjlighet att använda klassiska kontinuitetsargument i helt nya (och ofta oväntade) situationer för att bevisa intressanta satser om redan välbekanta objekt.
En berikande fråga i topologin är om två rum är topologiskt ekvivalenta (homeomorfa). Ett nekande svar på denna fråga kan ibland ges med hjälp av kompakthet eller sammanhang; ett kompakt rum kan inte vara homeomorft med ett icke-kompakt, ett sammanhängande rum kan inte vara homeomorft med ett icke-sammanhängande. Dessa topologiska invarianter "kompakthet" och "sammanhang" är mycket grova. En finare invariant är fundamentalgruppen till ett topologiskt rum, som också ger ett samband med algebra. Andra algebraiskt definierade topologiska invarianter studeras i kursen Algebraisk topologi (B3).
Den som vill läsa kursen som doktorandkurs måste, för godkänt resultat, också läsa en stencil om överlagringar på egen hand.