Doktorandkurser 99-2000

• Integrationsteori (5p), I-II (Theory of integration)

Kursinnehåll: Mått, måtbarhet, integral, konvergenssatser, olika slags konvergens, Fubinis sats, absolutkontinuitet, Radon-Nikodyms sats, derivering, begränsad variation
Litteratur: G.B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and their Applications, kapitel 1-3, Wiley
Kursexaminator:Mats Andersson

---

• Funktionalanalys (5p), II-III (Functional analysis)

Banach- och Hilbertrum, dualitet, Hahn-Banachs sats, Baires sats med följdsatser, svag*-kompakthet, L^p-rum, Riesz representationssats.

Förkunskaper: Integrationsteori
Litteratur: G.B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and their Applications, kapitel 4-7, Wiley.
Kursexaminator:Leif Arkeryd

---

• Wavelets (5p), I
(Wavelets)
Waveletanalys är en variant av Fourieranalys som kan anpassas till fenomenet som analyseras. Tekniken används vid bl.a. bildkompression och brusreducerind (både rent vetenskapligt och kommersielt). Det finns en stor skillnad med kursen från året 98/99.

Förkunskaper: Grundläggande Fourieranalys och Linjär Algebra

Kurslitteratur: Bergh-Eckstedt-Lindberg, wavelets, Studentlitteratur, 1999, med föreläsningskompletteringar.
Kursexaminator:Jöran Bergh

---

• Galoisteori (5p) II (Galois theory)

Kursbeskrivning: Galoisteorishuvudsats ger en korrespondens mellan vissa kroppar och grupper som avgör om ett polynoms nollställen kan uttryckas enbart med hjälp av de fyra räknesätt samt rotutdragning. På väg dit fördjupas kunskaperna om fundamentala strukturer i algebra, särkilt om kroppar, ändliga kroppsutvidningar, automorfigrupper, enkla och lösbara grupper och lösbarhet av polynomekvationer. .
Förkunskaper : Algebraiska strukturer eller motsvarande
Kurslitteratur : I.N.Stewart, Galois theory, Chapman & Hall, 2nd Ed.; J. Brzezinski, Övningsproblem i Galoisteori (Kompendium)
Kursexaminator:Laura Fainsilber

---

---

Algebra för doktorander - konsultkurs; del I,II 5p+3p, lp II-III   (Algebra)

Moduler över ringar, multilinjär algebra, bilinjära och seskvilinjära former, Cliffordalgebror, klassiska grupper, kanoniska former av tensorer (Jordans normalform), kategorier och funktorer, halvenkelhet och grupprepresentationer, Liealgebror.
Lokalisering, noetherska ringar, ringutvidgningar, Dedekindringar, dimensionering av ringar och algebraiska mångfalder, komplettering av ringar. Studenter läser kursen på egen hand, med periodiska konsultationer.

Kursexaminator: Juliusz Brzezinski

---

• Numeriska beräkningar av egenvärdena till stora matriser (5p) III (Numerical computation of eigenvalues of large matrices)
  Kursinneåll: Numerisk beräkning av egenvärden är ett huvudintresse för numerisk analysgruppen. En internationell kollaboration lägger just sista handen vid "Templates for Eigenvalues", en handledning som utges av SIAM till nytta för alla som har kvalificerade egenvärdesproblem att lösa. Vi kommer att behandla några av de metoder som där beskrivs, men även gå in på matematisk bakgrundsteori, störningsegenskaper, konvergens och annat.
  Förkunskaper: kurs bygger på Numerisk linjär algebra, TM (TDA 110), läsperiod 1 och Stora glesa matrisproblem, TM (TMA890), läsperiod 2. Doktorander med intresse för vetenskapliga beräkningar uppmuntras att följa dessa TM kurser.
  Kursexaminator: Axel Ruhe

  ---

• ( hp-Finite Element Methods-Algoritms and Applications(4p) I
  Kursinnehåll: The course introduces students to the basic concepts of hp-Finite Element Methods. The hp Algorithms and their implementation in FORTRAN-90 code are discussed in detail. The algorithms presented in class will be implemented in HP90, an hp-adaptive package that will be made available to students throughout the course. The course is also listed under TMA895: Topics in Numerical analysis
  Kursliteraturiteratur: HP90: A general and lexible FORTRAN90 hp-FE code, Comput. Visual Sci., 1: 145-163 (1998) (will be handed out in class).
  Kursexaminator:Klaus Gerdes

  ---

• Algebraisk geometri, fortsättningskurs (5p) I-II (Algebraic geometry, advanced course)

Innehåll: Kärvar, Serre-varieteter, scheman, morfismer, uppblåsningar,divisorer, lineära system , differentialer, härledda funktorer, kärv-kohomologi, Serres dualitets-sats, Riemann-Rochs sats för kurvor och ytor.
Förkunskaper: Kursen är en fortsättning av kursen i våras. Inga ytterligare förkunskaper krävs.
Kursliteratur: Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977.
Kursexaminator:Per Salberger

---

• Operatorer i Hilbertrum (Hilbert space operators) (5p) II (Hilbert space operators and partial differential equations)

Kursinnehäll: Vi betraktar teori av operatorer i Hilbertrum: begränsade, kompakta och obegränsade operatorer och olika aspekter av deras spektralteori.
Förkunskaper: Flervariabelanalys, Funktionalanalys, Distributionsteori, Integrationsteori
Literatur: J.Weidmann, The Linear Operators in Hilbert Space, Springer, 1980;
Kursexaminator:Grigori Rozenblioum

---

---

• Hilbertrumsmetoder för partiella differentialekvationer (Hilbert space methods for partial differential equations) (5p)III-IV Hilbertrumteori används till analysen av olika slags partiella differentialekvationer. Vi betraktar ställningen av ekvationer i Sobolevrum, lösbarhet av randvärdeproblem och egenskaper av lösningar.
  Förkunskaper: Flervariabelanalys, Funktionalanalys, Distributionsteori, Integrationsteori, Operatorer i Hilbertrum.
  Literatur: R.Showalter, Hilbert space methods for partial differential equations, Pitman, 1977
  Kursexaminator:Grigori Rozenblioum

  ---

---

• Analytisk talteori och modulärformer (5p)IV (Analytic Theory of Numbers and Modular Forms)

Kursinnehåll: The aim of this course is to introduce the students to some of the basic problems of analytic number theory, with particular concentration on the development of powerful theory of automorphic forms. Later in the course (or, perhaps, in a subsequent course) I would like to explore more deeply the arithmetic-geometrical side of this theory, foe example via the theory of elliptic curves.
Förkunskaper: Algebraic structures, some algebraic number theory (not class field theory), real and complex analysis. Some knowledge of algebraic geometry (e.g.: Riemann-Roch theorem), especially for later in the course.
Literatur: H.Davenport. Multiplicative Number Theory, Springer, 1967 (2nd ed. 1980); G.Shimura. Introduction to the Arithmetic Theory of automorphic forms, Princeton Univ. Press, 1971.
Kursexaminator:Peter Hegarty

---

• Introduktion till Liegrupper och Liealgebror (5p), III-IV, Introduction to Lie groups and Lie algebras

Kursinnehåll: 1) Inledning och allmän Liegruppsteori och Liealgebror (definitioner, nilpotenta och lösbara grupper (algebror)). 2) Klassifikationsteori för enkla komplexa ändligt dimensionella Liealgebror (grupper).
Förkunskaper: fördjupningskurs i Linjär Algebra
Kursliteratur: Semisimple Lie Algebras. M.Goto&F.Grosshans
Kursexaminator:Alexander Stolin

---

• Algebraisk Topologi (5p), II (Algebraic Topology).
  Kursinnehåll: Kursen behandlar klassifikation av överlägringsrum med hjälp av fundamentalgruppoider, grundläggande begrepp i homotopiteori, homotopigrupper, simpliciala och CW-komplex, valda delar av homologisk algebra, kohomologi och homologi av rum, Steenrod opertioner på mod 2 kohomologi och någon spektralföljd (Serres) samt Poincare dualitet.
  Förkunskaper: Algebraiska Strukturer (eller motsvarande) samt Allmän topologi
  Examination: sker dels i samband med kursen i form av inlämningsuppgifter dels efter avslutad kurs i form av muntlig examination.
  Kursliteratur: Föreläsningsanteckningar (alternativt (men ej heltäckande) O.Hanner: Inledning till algebraisk topologi, kompendium.)
  En mer detaljerad beskrivning kommer att finnas på http://www.math.chalmers.se/~janalve/
  Kursexaminator: Jan-Alve Svensson

  ---

• Partiella Differentialekvationer (8p), III-IV,(Partial differential equations)
Innehåll: introduktion till fundamentala part diff ekv (linjära och icke-linjära) i fysik, mekanik och tillämpningar. Grundläggande matematisk teori avseende: existens, entydighet, stabilitet och regularitet. Kursform: Deltagarna presenterar innehållet i Evans bok i seminarieform (2 tim per vecka) under per I-II.
Start: mandag 21 sept kl 15 i sal S4 (prel); intro;
Anmalan: snarast
Deltagarna uppmanas skaffa boken snarast (tex via bibl Lena Lööv)
Litteratur: L. C. Evans Partial Differential Equations, (Graduate Studies in Mathematics v 19, Am. Math. Soc. ISBN 0821807722)
Kursexaminator:Claes Johnson
Seminarium i kombinatorik  (3-5p), III-IV (Topics in combinatorics)
Kursdeltagarna föreläser om ämnen som väljs och förbereds i samråd med examinatorn. Några förslag om ämnen denna gång är Young tablåer, Tornteori, Reguljära språk och genererande funktioner, Spektralteori för grafer, Exponentiella genererande funktioner, Matroider, Linjär algebra i kombinatorik, Tuttepolynomet. Ytterligare förslag är välkomna.
Litteratur: Valda artiklar och böcker
Kursexaminator: EinarSteingrímsson
---
Allmän topologi (5p), IV (General topology)

Fundamentala topologiska begrepp som bildar en bas fär moderna geometri, analys, differentialekvationer mm. Mängdlära(översikt). Strukturer (linjära rum, grupper etc- repetition0. Metriska och topologiska rum och deras avbildningar. Kompakta rum och konvergens. Approximation. Mångfalder. Homotopi.
Undervisning och examenation: Föreläsningar (36t) och övningar (14 t). tentamentskrivning i slutet av kursen. Inlämningsuppgifter kan förekomma under kursens gång.
Förkunskaper: Allmän behörighet + 40p i matematik (särskiltFlervariabelanalys, Linearalgebra)
Litteratur: Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill; O.Viro. Elementary Topology. Uppsala
Kursexaminator:Jana Madjarova