===========================================

Doktorandkurser 2000-2001

Analytisk talteori och modulärformer (fortsättning fr. 1999/2000) (5p),lp I (Analytic Theory of Numbers and Modular Forms)

Peter Hegarty

Introduktion till Liegrupper och Liealgebror (fortsättning fr. 1999/2000) (5p),lp I, Introduction to Lie groups and Lie algebras
Kursexaminator:Alexander Stolin

Integrationsteori (5p), lp I-II (Theory of integration)

Rekommenderas för alla forskarstuderande och avancerade grundnivåstuderande

Real Analysis, Modern Techniques and their Applications

Mats Andersson

Aksiomatiska mängdteori(5p), lp1 (Axiomatical set theori)
Rekommenderas för alla forskarstuderande och avancerade grundnivåstuderande
Kursinnehåll: For the axioms of Zermelo-Fraenkel and the proof of the consistency of the continuum hypothesis relative ZF, we will use Krivine's book "Axiomatic Set Theory"; it is out of print so we have to make copies. We also intend to use a paper by Dana Scott: "A Proof of the Independence of the Continuum Hypothesis" in Mathematical Systems Theory, Vol 1, No. 2 (Springer). We also hope to cover some constructive set theory.
Kursexaminator: Jan Smith
Pseudodifferentialoperatorer - inledande kurs (5p) lp I-II (Pseudodifferential operators, an introductory course)
Rekommenderas för studenter i Analys, PDE, ECMI, Tillämpad matte.
Kursinnehållinnehåll: Pseudodifferentialoperatorer är generaliseringar av partielladifferentialoperatorer, definierade med hjälp av Fouriertransform. Kursen inför begreppet och tar upp den s.k. symbolkalkylen som beskriver sammansättningar av dessa operatorer. Vidare behandlas operatorernas begränsningar på olika funktionsrum, liksom möjligheten att invertera dem och därmed finna lösningar till partiella differentialekvationer.
Förkunskaper: Integrationsteori och någon kännedom om Fouriertransformationer och distributioner.
Kursliteratur: E.M.Stein, Harmonic Analysis, Princeton, 1993, kap. VI,VII
Kursexamenator: Peter Sjögren

Microlocal analys (5p) II-III (Microlocal analysis)
Rekommenderas för studenter i Analys, PDE, ECMI, Tillämpad matte.
Kursen kan betraktas som en fortsättning till kursen Pseudodifferentialoperatorer men jag försöker att göra den maximallt oberoende. För olika slags partiella differentialekvationer granskar vi plats och formen av möjliga singulariteter till lösningar. Dessa singulariteter bestämmer lösningarnas huvudegenskaper (t.ex. vågutbredning). Approximation till lösningar nära singulariteter konstrueras med hjälp av pseudodifferentialoperatorer. Vi skall också se hur man kan transformera partiella differentialekvationer till några standarta former.
Förkunskaper: Integrationsteori, någon kännedom i Fouriertransformationer och distributioner, grunddkurs i PDE
Kursliteratur: M.Taylor, Pseudodifferential operators, Princeton, 1981; Y.Egorov; Linear differential equation of principal type, Springer, 1985
Kursexamenator: Grigori Rozenblioum

Funktionalanalys (5p), lp II-III (Functional analysis)

Rekommenderas fär alla.

Kursinnehåll: Banach- och Hilbertrum, dualitet, Hahn-Banachs sats, Baires sats med följdsatser, svag*-kompakthet, L^p-rum, Riesz representationssats.

Förkunskaper: Integrationsteori
Litteratur: G.B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and their Applications, kapitel 4-7, Wiley.
Kursexaminator:Bo Berndtsson

Seminarium i kombinatorik (fortsättning) (3-5p), lp I-II (Topics in combinatorics)
rekommenderas för alla forskarstuderande och avancerade grundnivåstuderande.
Kursdeltagarna föreläser om ämnen som väljs och förbereds i samråd med examinatorn. Några förslag om ämnen denna gång är Young tablåer, Tornteori, Reguljära språk och genererande funktioner, Spektralteori för grafer, Exponentiella genererande funktioner, Matroider, Linjär algebra i kombinatorik, Tuttepolynomet. Ytterligare förslag är välkomna.
Litteratur: Valda artiklar och böcker
Kursexaminator: Einar Steingrimsson
Introduktionskurs i Ickestandardanalys (5 p) III (An introduction to nonstandard analysis)
Rekommenderas för alla forskarstuderande och avancerade grundnivåstuderande
Bakgrund: Målet med kursen är att för matematikstuderande (med minst fil. kand. nivå, och gärna någon högre kurs i integrationsteori, mängdlära, topologi eller funktionalanalys) presentera Robinsons rigorösa grund för infinitesimalkalkylen, och mera allmänt ickestandardmodeller i matematiken. Det rör sig om ett kraftfullt verktyg för den matematiska forskningen som har lett till nya insikter inom funktionalanalys, sannolikhetsteori, potentialteori, matematisk fysik, matematisk ekonomi och andra områden. Gödel och andra 1900-talsmatematiker såg den som 2000-talets matematik, och nu är vi där...
Innehåll: Ultrapotensmodellen för de hyperreella talen med tillämpningar inom kalkylen och reellanalysen inklusive ODE. Högre ordningens modeller lämpade för att diskutera mämngder av mängder, mängder av funktioner etc., inklusive begreppen saturering, interna och externa mängder. Topologiska tillämpningar på ickestandard höljen, kompakthet, metriska rum, normerade rum, Hilbertrum. Tillämpningar på ickestandard måtteori.
Förkunskaper: Flervariabelanalys. Integrationsteori
KursliteraturA E Hurd, P A Loeb: An introduction to nonstandard real analysis (reserverad på hyllan 5a i biblioteket)
Kursexamenator: Leif Arkeryd
Ickelinjär vågutbredning(5p),lp I-II (Nonlineare wave propagation).
Rekommenderas för studerande i Analys, ECMI, PDE, Tillämpad matte
Kursinnehåll: Analys av hyperboliska ekvationer, och de vanligaste linjära ekvationerna för vågutbredning (vågekvationen, Klein-Gordon ekvation, Schrödingerekvationen). Egenskaper och uppskattningar; lokal regularitet och asymptotik. Några öppna problem.
Förkunskaper: Integrationsteori, Funktionalanalys, något om ODE och PDE.
Examination: En större inlämningsuppgift, som ges tid och stöd för.
Kursliteratur: L. Hörmander: Lectures on Nonlinear hyperbolic equations, Springer, 1997
KursexaminatorPhilip Brenner
Distributionsteori (5p), lp III (Theory of distributions)

Rekommenderas för alla forskarstuderande och avancerade grundnivåstuderande

Testfunktioner, distributioner, konvergens, principalvärden och ändliga delar, faltning, tempererade distributioner, Fouriertransformer, Fourierserier, fundamentallösningar, tillämpningar.

Förkunskaper: Integrationsteori
Kursexaminator: Jana Madjarova
Litteratur: H. Carlsson, Föreläsningar i distributionsteori, Göteborg.

Homogeniseringsteori (5p) lp II-III (Homogenisation)
Rekommenderas för studerande i analys, PDE, Tillämpad matte, ECMI
Kursbeskrivning: Den matematiska teorin för homogenisering handlar om att bestäma makroskopiska egenskaper hos system med heterogen mikrostukur. Kursen behandlar svag och svag* konvergens i Banachrum, oscillerande funktioner, periodiska stukturer, homogenisering av elliptiska och paraboliska ekvationer, korrektorer, asymptotisk multipelskaleanalys, tvåskalekonvergens, G-konvergens, övre och undre gränser för effektiva parametrar.
Förkunskaper: PDE grundkurs, Funktionalanalys
Kursliterarur D.Cioranescu, P.Donato,An Introduction to Homogenization Oxford Lecture Series in Mathematics and Applications no.17, Oxford Univ. Press, 1999 Kursexamenator Nils Svanstedt
Inledning till algebraisk geometri (5p) ,lp II (Introduction to algebraic geometry)
Rekommenderas för alla forskarstuderande
Kursinnehåll: Andragradskurvor i planet, homogena och inhomogena koordinater, sninttmultipliciteter, gruppstrukturer på kubiska kurvor. Affina varieteter och Nollställensats, funktioner på varieteter. Birational ekvivalens, tangentrum, 27 linjer på kubiska ytor.
Förkunskaper: algebraiska strukturer.
Kursliteratur: M.Reid: Undergraduate Algebraic Geometry. LMS Student Texts 12, Cambridge Univ. Press, 1988
Kursexamenator:Jan Stevens

Elliptiska kurvor (5p), lp III-IV (Elliptic curves)
Rekommenderas för alla forskarstuderande i algebra och analys
Kursinnehåll: Elliptiska kurvor över C , elliptiska funktioner, komplex multiplikation , elliptiska kurvor över Q, Weierstrass normalform , reduktion modulo p, höjdfunktioner och nedstigning , Mordells sats, L-funktioner av elliptiska kurvor över Q.
Förkunskaper: Endast elementär talteori och funktionsteori. Några förkunskaper i algebraisk geometri krävs ej.
Kursliteratur: Silvermann :The Arithmetic of Elliptic Curves. (Andra böcker om elliptiska kurvor duger också.)
Kursexamenator: Per Salberger

Matematisk modellering ECMI 5p, lp III-IV (Mathematical modeling)
rekommenderas för studerande i ECMI, analys, PDE, tillämpad matte
Ett studium av valda praktiska problem med diskussioner en gång i veckan. Kursen är främst avsedd för forskarstuderande med industrimatematikinriktning.
Kursexaminator: Jöran Bergh
Algebraiska metoder för icke-linjära partiella differentialekvationer (5p), lp III-IV (Algebraical methods for non-linear partial differential equations)
Rekommenderas för studerande i algebra, analys, PDE, Tillämpad matte, ECMI
Kursbeskrivning: Icke-linjära PDE som man träffar i olika problemområden innehåller många itressanta algebraiska strukturer: Lie grupper och algebror, elliptiska kurvor osv. Analysen av dessa struktur gör det möjligt att hitta invarianter till ekvationer, konservationslagar, och, i några viktiga fall, beskriva lösningar. Samtidigt, hjälper algebraiska metoder konstruera lösbara differentialekvationer. Vi planerar i denna inledande kurs beskriva sammanhang mellan partiella differentialekvationer, algebra och analys och betrakta några basexemplel.
Förkunskaper: Flerveriabelanalys, Algebra för doktorander (det skall vara enklare, med något kunskap i PDE och Lie grupper).
Kursliteratur (bestäms senare)
Kursexamenatorer:Grigori Rozenblioum, Alexander Stolin
C*-algebror (5p) IV (C*-algebras)
Rekommenderas för alla
Kursinnehåll: Teorin av C*-algebror ligger i mellanrum mellan algebra i funktionalanalys, där metoder ur både ämnen berikar varandra. Kommutativa C*-algebror generaliserar algebror av kontinuerliga funktioner, medan icke-kommutativa C*-algebror motsvarar matrisalgebror och algebror av operatorer i Hilbertrum. I denna inledande kurs planeras att beskriva de viktigaste begrepp och strukturer i teorin, bl. a. Gelfand-Najmark klassificeringssats. Några enkla tillämpningar ges, till representationsteori och till analys av Toeplitzoperatoren. Nästa år planeras att ge en avanserad kurs med tillämpningar till geometri, analys, differentialekvationer, fysik osv.
Förkunskaper: Flervariabelanalys, Algebraiska srukturer, Funktionalanalys, Allmän topologi.
Kursliteratur: K. Davidson, C*-algebras by Examples.
Kursexamenator: Ludmila Turowska,

Last modified: Tue Aug 22 10:16:03 MET DST 2000