Fysikaliska detaljer
Det räcker att studera en fix partikel. Vi antar att kraften
är av Coulumbtyp, dvs. den fixa partikeln påverkar den rörliga
med en kraft som har samma riktning som vektorn mellan partiklarna, r
- p1. Jag skriver inte ut t, men r beror ju av t,
r(t). Om n betecknar den normaliserade riktningsvektorn (som
kraften verkar utmed) har vi:
n = (r - p1) / | r - p1 |
Eftersom laddningarna har olika tecken påverkas den rörliga partikeln av en repulsiv kraft. Storleken på kraften är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan partiklarna. Om kraften betecknas F så har vi alltså:
F = k n / | r - p1|2 där k är en proportionalitetskonstant.
Men n = (r - p1) / | r - p1 | så
F = k (r - p1) / | r - p1|3
Vi använder nu Newtons andra lag, F = m a = m r''(t), och får
r'' = (k / m) (r - p1) / | r - p1|3 = c (r - p1) / | r - p1|3, där c = k / m.
Den totala kraften som påverkar den rörliga partikeln är summan av krafterna från alla fixa partiklar, så:
r'' = c [ (r - p1) / | r - p1 |3 + (r - p2) / | r - p2 |3 + ... + (r - pn) / | r - pn |3 ]