Några kommentarer till tentan 2008-10-21

Ett grundläggande intryck är att många slarvar alldeles oerhört vid genomläsning av uppgifterna. Man kan inte få många poäng om man löser fel uppgift, svarar på en helt annan fråga. Läs innantill!

Uppgift 1.
Har gått dåligt. Detta är en enkel uppgift som kontrollerar om man har grundläggande kunskaper om Newtons metod. Det är det inte många som har. Det första bekymret är att så många inte vet hur vanlig matrismultiplikation fungerar, så låt mig repetera reglerna för detta. Vi vill bilda C = A B, där A och B är matriser. Om A är en m x n-matris (m rader och n kolonner) och så måste B vara en n x p-matris, dvs antalet kolonner i A måste vara lika med antalet rader i B. Resultatet, C, blir en m x p-matris. Om man bara tittar på antal rader och kolonner gäller följande, där jag har använt färger för att visa hur dimensionerna hänger ihop.

C =	A	B
m x p	m x n	n x p

I uppgiften skall vi bilda x^T A x där A är en 2 x 2-matris och x är en kolonnvektor, dvs. en n x 1-matris. Transponatet, x^T, är då en 1 x n-matris (en radvektor). Om vi använder regeln ovan

resultat =	xT	A	x
1 x 1	1 x n	2 x 2	n x 1

så måste n måste vara två och resultatet är en 1 x 1-matris, dvs. ett tal, en skalär. Jag hade tänkt mig att man skulle känna igen uttryck av formen x^T A x eftersom jag tog upp det i samband med den kvadratiska formen Q(h, k). Jag sa att ett alternativt sätt att kontrollera definitheten är att studera hur x^T A x uppför sig, där A är Hessianen. Vi använde också x^T A x för att definiera en positivt definit matris etc. Många har fått till en vektor av x^T A x (för att få två ekvationer antar jag), men den andra ekvationen ges ju av normeringsvillkoret. Det står ju att "Vi söker en kolonnvektor, x, som är normerad (|x| = 1) och som satisfierat villkoret". Så den andra ekvationen blir att längden av vektorn skall vara ett.

Många (minst hälften) har bara fått ihop en ekvation, och har därmed fått en Jacobian som består av en vektor. Med några få undantag har man glatt skrivit vektor^-1. Man borde verkligen ha insett att detta är helt galet. En matris måste vara kvadratisk (lika många rader och kolonner) för att kunna vara inverterbar. Några har observerat att det är orimligt att invertera en vektor, men att de inte fått till en ekvation till. Jag har varit lite snällare i min bedömning i dessa fall.

Uppgift 2
Har gått rätt bra, flera ha gjort lösningar som nästan är korrekta. Många har dock för svaga bivillkor. Det räcker inte att kräva att 3 pi r^2 <= 1, för det garanterar inte att cirklar inte överlappar t.ex. Att kräva att 3 r <= 1 är för restriktivt. Flera kunde inte räkna ut cirkelns area (behövs i och för sig inte för att lösa uppgiften), vilket är anmärkningsvärt.

Uppgift 3.
Denna uppgift borde ha varit enkel, nästan gratispoäng. Den handlar ju om väldigt grundläggande egenskaper hos gradienten.
Många som inte kunde matematiken och många som slarvade.

• Man står i punkten (1, 1) och skall bestämma en riktning i a), det är inte (1, 1) som är riktningen. Det står "Vi befinner oss i punkten (x, y) = (1, 1)." Hur kan man missförstå det?
• Att en funktion växer snabbast i gradientriktning borde sitta i "ryggmärgen". Det gör det inte hos alla.
• Några tar fram tangentplanet i a). Tangentplanet är inte dock inte relevant i denna uppgift. Bara för att jag ibland har tangentplan som tredje uppgift, betyder inte det att man automatiskt skall ta fram det.
• I b) skall man bestämma en riktning, inte en punkt där gradienten är noll. Några räknar ut (x, y) där gradienten är nollvektorn, och kallar sedan (x, y) för en riktning. Någon har till och med skrivit "i riktningen (-1/4, 3/4), (som är en extrempunkt) ...". Man borde reagera då.
• Många missar på c). Vi räknade precis en sådan övning under repetitionen.
• Man skall inte räkna på linjer i rummet. Vi står i en punkt i x-y-planet och skall röra oss utmed linjen x + 3y - 4 = 0. Man skall då inte börja tala om riktningar i tre dimensioner.
• Givet linjen a x + by = c har jag, massor av gånger, sagt att (a, b) är en normalvektor till linjen, det är inte en riktningsvektor. Riktningsvektorer är t.ex. ± (b, -a), eftersom (a, b) · (b, -a) = 0. Sådana här enkla saker måste man bara kunna och många har gjort fel. Jag har tagit upp det, det tas upp i lin-alg-kursen och det är gymnasiematematik, del B. Om du är det minsta osäker, titta på ett enkelt exempel, t.ex. y - x = 0. En riktningsvektor är ju inte (1, -1) utan det är en normal. (1, 1) är ortogonal mot (1, -1) och (1, 1) är en riktningsvektor.
• I problemet är alltså (1, 3) en normalvektor, så att t.ex. (3, -1) och (-3, 1) är riktningsvektorer. Observera att (-1, 3) inte är en riktningsvektor (som några skrev). Skalärprodukten mellan normal och (-1, 3) är ju (1, 3) · (-1, 3) = 8, dvs. inte noll.
• Det lönar sig inte att gissa i c), som en del har gjort. Om man går i posititv (eller negativ) x-riktning så... Svar måste motiveras (även om man gissar rätt).

Uppgift 4.
Har gått bra.

• En del räknefel, som i vissa fall har lett till olösbara problem (primitiva funktioner).
• När man får ekvationen f_v' = 4 y, måste man gå över till u och v även i högerledet. Man kan inte bara säga att vi integrerar med avseende på v och betrakta y som konstant, eftersom y beror av v (y = uv^3). Om man gör misstaget, får man f = 4 yv + g(u) = 4 uv^4 + g(u), men det korrekta svaret är ju f = uv^4 + g(u).

Uppgift 5.
Många som har lärt sig att motivera, tala om vad de gör, bra! Dock är många lösningar ofullständiga.

• Flera som har räknat på en cirkelskiva. Området är ju en kvadrat. Någon har fått till en roterad kvadrat. Om man inte ens har rätt område så har man ju "förstört" problemet.
• Det fanns personer som satt igång med Q(h, k) fastän jag upprepade gånger har sagt att man inte gör det för denna typ av problem.
• När man löser 3 y^2 = 1, y = ±sqrt(1/3) , inte bara +sqrt(1/3). Det gäller inte att sqrt(1/3) = 1/9.
• En del har deriverat fel och fått fel nollställen, jag har dock varit snäll vid bedömningen.
• Man kan inte beskriva hela randen som en funktion, utan man får dela upp i fyra delar, x = -1, x = 1, y = -1, y = 1. Man kan vara lite smart och slå ihop delar. Det gäller ju att f(±1, y) = y^3 och att f(x, ±1) = ±x^2.
• Några har helt struntat i randen. En del räknar på en del av randen, t.ex. x = -1, och struntar i övriga delar (utan förklaring).
• Några har bara studerat hörnpunkterna, f(-1, -1), f(-1, 1), f(1, -1) och f(1, 1), men detta utgör ju bara randpunkter till de fyra segment som randen består av. Man måste studera f(-1, y), f(1, y), f(x, -1) och f(x, 1).
• En del av de som räknar på alla fyra rand-segment, missar randpunkter till segmenten (de fyra hörnpunkterna). Antag t.ex. att |x| = 1, så x = ±1, då är f(±1, y) = 1 * y + y^3 - y = y^3. Vi ska nu bestämma största och minsta värde av y^3 då -1 <= y <= 1. Vi tittar på inre punkter där derivatan är noll, så y = 0, och f(±1, y) = 0. Funktionens (y^3) värden i randpunkterna, y = -1 respektive y = 1 är -1 respektive 1.
  y^3 är nu känd från envariabelkursen, så man kan ju enkelt ta fram största resp. minsta värde direkt utan att räkna så mycket (utan att räkna alls). Jag hade sett till att f:s värden på randen skulle vara snälla, just för att man inte skulle behöva räkna så mycket. Detta skall vara, och är, en enkel största-minsta-värde-uppgift.
• Några studerar de fall när x = 0, f(0, y), respektive f(x, 0). Detta är dock inte relevant på något sätt, eftersom linjerna x = 0 (y = 0) ligger i det inre av området.
• Visst kan man använda Lagrange-multiplikatorer, men det är onödigt komplicerat i detta fall.
• Många fel på y^3 - y, då y = -1. Det gäller ju att (-1)^3 - (-1) = 0 inte 2 eller -2.

Uppgift 6.

• Denna uppgift borde ha gått bättre. Den liknar några Adams-problem där man skall räkna ut volymen av en mängd som begränsas av en cylinder samt två andra ytor. Tanken var att man skulle känna igen problemställningen. 2x^2 + y^2 = 1 är ju en cylinder, 2x^2 + y^2 = 1 är en ellips i x-y-planet och z är godtyckligt, så man kan tänka sig att ellipsen åker utmed z-axeln och genererar cylindern.
• En del har helt missuppfattat hur detta fungerar och integrerat 2 - cos(1). Man har cylindern 2x^2 + y^2 = 1, men det innebär ju inte att alla de (x, y) man arbetar med uppfyller 2x^2 + y^2 = 1. Cylindern är en begränsningsyta, så att man kommer ju att ha (x, y) som uppfyller 2x^2 + y^2 <= 1. Man skall ju beräkna volymen av den punktmängd som ligger mellan lock och botten och inuti cylindern.
• En del har bildat helt fel integrand, genom att ta 2 - cos(2x^2 + y^2) minus 2x^2 + y^2. Det svarar ju mot att subtrahera tak och sidoyta.
• Det fungerar inte med vanliga polära koordinater, man måste använda elliptisk-polära koordinater.
• Om man gör det måste man, bland annat, integrera r cos(r^2) med avseende på r. Detta borde vara ett enkelt problem, men eftersom en likartad uppgift (att integrera r e^{r^2}, som vi hade på tavlan) ställde till sådana bekymmer, ville jag se att man hade förstått detta. I r cos(r^2) fungerar ju det första r-et som inre derivata till r^2 (så när som på en konstant). En primitiv funktion till r cos(r^2) är alltså sin(r^2) / 2. Sådant skall man se direkt, det finns igen anledning att trassla med variabelsubstitution och det blir inte bättre av partiell integration.
• Primitiv funktion till cos r är sin r och inte cos r. Man måste kunna hantera de elementära funktionerna!
• Om man vill använda trippelintegral för volymen, så skall integranden vara konstant ett. Enklare är dock att dubbelintegrera lock - botten. Man skall inte trippelintegrera lock - botten, för det blir helt fel.
• När man multiplicerar 2 - cos(r^2) med funktionaldeterminanten r / sqrt(2) skriver man (2 - cos(r^2)) r / sqrt(2) eller (2 - cos(r^2)) · r / sqrt(2), men man skriver inte 2 - cos(r^2) r / sqrt(2), eftersom det är felaktigt. Det betyder 2 - (cos(r^2) r / sqrt(2)). Detta leder, hos en del, till fel i senare beräkningar.
• Observera att det är viktigt att inte glömma funktionaldeterminanten (som några gjorde). Gör man det i denna uppgift måste man integrera cos(r^2) och det fixar man inte (inte någon, inte ens Maple, man får ett svar uttryckt i termer av en sk Fresnel-integral vilket bara är ett annat namn för det man skall beräkna).

Uppgift 7.

• Bara för att jag ibland har Greens formel i denna uppgift, så betyder inte det att man automatiskt skall använda formeln. Det är direkt olämpligt med Greens formel i denna uppgift, eftersom man då måste räkna ut två kurvintegraler extra. En del har gjort detta, vilket givetvis är tillåtet.
• En del använder Greens formel fastän området inte är slutet.
• Det står att kurvan är en del av enhetscirkeln. Koordinataxlarna är inte en del av enhetscirkeln. Kurvan är alltså en cirkelbåge. Jag har nu rättat mycket snällt, så om man har använt Greens formel och räknat rätt har man fått 1p. Jag tycker dock inte att uppgiften skall gå att missförstå.
• Nu har jag rättat snällt, men jag rättar inte hur snällt som helst. Om man nu, felaktigt, använder Greens formel måste man ändå ha korrekta gränser i dubbelintegralen. En del har integrerat mellan noll och ett i både x- och y-led. Detta svarar ju mot att området är enhetskvadraten och det ger noll poäng. Många använder dessa felaktiga gränser fastän man ritat upp en kvartscirkel. Jag förstår inte hur man tänker då.
• Många krånglar till integralerna, liksom i föregående uppgift. Primitiv funktion till t sqrt(1 - t^2) skall man se direkt, den är av samma typ som r cos(r^2), det står väsentligen en inre derivata framför. Man skall inte sätta igång med partiell integration etc. det ökar bara risken för fel. Hur tänker man med sqrt(1 - t^2)?
  Jo, (2 / 3) (1 - t^2)^(3/2) fixar kvadratrotsdelen och sedan får man ta hand om inre derivatan, som ju är -2 t. Vi skall bara ha t, så man får justera med 1 / (-2) och en primitiv funktion blir (2 / 3) (1 - t^2)^(3/2) (1 / -2) = - (1 / 3) (1 - t^2)^(3/2). Allmänt gäller att en primitiv funktion till g'(x) f '(g(x)) är f(g(x)), det är ju bara derivatan av en sammansatt funktion.

Uppgift 8.

• I a) hade vi f(x, y, z) = xyz / (x^2 + y^2). I definitionen av gränsvärde betraktar vi bara (x, y, z) där f(x, y, z) är definierad, dvs. (x, y, z) måste tillhöra f:s definitionsmängd, dvs. x^2 + y^2 > 0. f är inte definierad när x = y = 0. Man kan alltså inte resonera så här, f(0, 0, z) är ej definierat alltså finns inte gränsvärdet. Låt oss ta ett exempel från envariabelkursen, sin x / x. Man kan då inte testa med x = 0, och säga att gränsvärdet inte existerar bara för att sin 0 / 0 ej är definierat, utan vi studerar ju sinx / x, när x närmar sig noll (men x blir aldrig noll) och gör vi det så vet vi att sin x / x närmar sig ett när x närmar sig noll.
• När man använder instängning så måste man vara försiktig med tecken. Det är inte sant att xyz / (x^2 + y^2) <= xyz / x^2 t.ex. Tag t.ex. x = -1, y = z = 1, då skulle ju gälla att -1/2 <= -1 vilket inte är sant. Däremot gäller att (om x inte är noll) att |xyz| / (x^2 + y^2) <= |xyz| / x^2, i sifferexemplet är |-1/2| <= |-1|. Väldigt många missar på detta!
• Det är inte sant att |xyz| / |x^2 + z| <= |xyz| / |z| även om z inte är noll. Tag t.ex. x^2 = 100 och z = -99, då är x^2 + z = 1, men |z| = 99. Anledningen till att |xyz| / (x^2 + y^2) <= |xyz| / x^2 är ju att y^2 >= 0, dvs. man gör nämnaren mindre, men med |x^2 + z| kan man göra nämnaren större.
• Som jag har sagt många gånger så kan man inte beräkna gränsvärdet genom att testa olika vägar. Däremot talar det om vad gränsvärdet är om det existerar. Så, om man redan har bevisat att gränsvärdet i a) existerar, så kan man ta z = 0 och låta (x, y) -> (0, 0) och få gränsvärdet noll. Man kan göra så även i b) (och få värdet noll), men där existerar inte gränsvärdet och man får ett falskt resultat.
• Några har gjort detta på ett felaktigt sätt och låst x = y = 1 och sedan låtit z gå mot noll och i nästa andetag låtit x = y = z = 1 och få ett annat värde. Detta kan man givetvis inte göra. Om (x, y, z) -> (0, 0, 0) så måste ju alla x, y, z närma sig noll, man kan inte låsa fast vissa variabler, om x = 1 hela tiden så går x inte mot noll.
• Man kan testa olika vägar för att visa att ett gränsvärde inte existerar. Om två olika vägar ger olika resultat, så existerar inte gränsvärdet. Om två vägar ger samma resultat, så vet man alltså inte om gränsvärdet existerar. Det finns ju oändligt många otestade vägar!
• En annan metod som inte fungerar är att sätta x = y = z och låta x gå mot noll. I a) får man f(x, x, x) = x^3 / (2 x^2) = x/2 som går mot noll. I b) får man f(x, x, x) = x^3 / (2x^2 + x) = x^2 / (2 x + 1) som också går mot noll. Att sätta x = y = z svarar mot att närma sig origo utmed en rät linje.
• Man kan använda rymdpolära koordinater om man vill (åtminstone i a). I a) får man då r^3 · (sin teta)^2 · cos teta · cos psi · sin psi / (r^2 (sin teta)^2) = r cos teta · cos psi · sin psi som går mot noll när r går mot noll, ty vi har inga sinus eller cosinus i nämnaren som kan ställa till något. Sinus/coinsus i täljaren är ju begränsade och ligger mellan -1 och 1.
  I b) blir det lite krångligare: r^3 · (sin teta)^2 · cos teta · cos psi · sin psi / (r^2 (sin teta)^2 + r cos teta) = r^2 · (sin teta)^2 · cos teta · cos psi · sin psi / (r (sin teta)^2 + cos teta). Det står r^2 i täljaren, men problemet är nämnaren, r (sin teta)^2 + cos teta, som t.ex. kan gå snabbare mot noll än vad r^2 går mot noll, man kan få något obestämt.
• Man kan också använda vanliga polära koordinater i a), som någon gjorde, och få z · r^2 cos a · sin a / r^2 = z cos a · sin a som går mot noll när z går mot noll (eftersom | cos a · sin a | <= 0.5).
• Några föreslog att funktionerna är kontinuerliga i (0, 0, 0). Det är de nu inte alls. Funktionsvärdena existerar ju inte ens, man får ju 0 / 0.
• Det lönar sig inte att svara med en gissning, det ger garanterat noll poäng, även om gissningen råkar vara korrekt. Man har 50% chans att gissa rätt på a) eller b) och 25% att gissa rätt på både a) och b). Det är alltså alldeles för enkelt att gissa rätt för att man skall få några poäng :-)
• Jag har inte delat ut några poäng om man har resonerat med potenser (som ja sa på föreläsningen). Man kan använda denna teknik för att skaffa sig en uppfattning om ett egenvärde existerar eller ej, däremot duger det inte som bevis. Flera har tänkt ungefär så här: täljaren uppför sig som en tredjepotens och nämnaren som en andrapotens, så täljaren går snabbare mot noll varför gränsvärdet borde existera och vara noll. De som har använt denna typ av resonemang har tyvärr dragit samma slutsats  i b, en slutsats som då är felaktig. Detta visar att man måste vara lite försiktig med denna form av resonemang. Det fungerar i a) men inte i b). Anledningen till att det inte fungerar i b) är att nämnaren kan gå godtyckligt snabbt mot noll i b, och min lösning utnyttjar detta faktum. Man kan resonera så här: nämnaren är x^2 + z^2 + z, så om vi sätter z = w - (x^2 + y^2), så blir nämnaren w, som kan gå mot noll hur snabbt som helst. Vi kan ju låta w = x^1000 t.ex. Många missar det faktum att z kan vara negativ. Om nämnaren hade varit x^2 + y^2 + z^2 eller t.ex. x^2 + y^2 + |z| hade situationen varit en annan.