komm_091014

Några kommentarer till tentan 2009-10-24

Uppgift 1.
Har gått rätt bra (borde den ha gjort, det är ju en enkel uppgift). Många kan dock inte derivera en produkt och en del kan inte derivera sin och cos. Skärpning! Rätt många som glömmer iterationsindex.

Uppgift 2
Borde ha gått bra. Vi har labbat på fmincon och denna uppgift är nästan identisk med en från en tidigare tenta. Flera läser fortfarande inte innantill. Det står att duken har formen av en rätvinklig triangel och det talas om kateter. Duken har således inte kvadratisk form, eller är en liksidig triangel. Det ger noll poäng om man försöker lösa fel uppgift. I tentamenstesen står vidare att:

Använd fmincon för att lösa problemet (lös det inte för hand, det går, men det ger inga poäng).

Ändå är det många som försöker lösa problemet för hand (man låser cirklarnas centrum och radie och då är det inget optimeringproblem längre).
Återigen: läs innantill!

Flera ha gjort lösningar som nästan är korrekta. Många har dock för svaga eller felaktiga bivillkor. Bivillkoret med hypotenusan har inte många fått rätt, men det finns dock antydningar i rätt riktning hos flera.

Uppgift 3.
Har gått oväntat dåligt eftersom tanken var också att uppgiften skulle vara utomordentligt enkel och ge tre säkra poäng.

Bara för att jag ibland har uppgifter med Greens formel, så betyder inte det att man automatiskt skall använda formeln. Det är direkt olämpligt med Greens formel i denna uppgift, eftersom man då måste räkna ut en kurvintegral extra. En del har gjort detta, vilket givetvis är tillåtet. Om man parametriserar kurvan och räknar på blir uppgiften närmast trivial, den tar två rader att lösa.

En del använder Greens formel fastän området inte är slutet, det ger noll poäng, precis som jag sa under repetitionsföreläsningarna. Jag är mycket förvånad över att man kan försöka använda Greens formel fastän man inte har ett slutet område. Jag måste ha varnat för detta minst tio gånger.

Uppgift 4.
Har gått rätt dåligt, men några har löst uppgiften helt korrekt. Det är kanske lite av en antingen/eller-uppgift. Antingen klarar man den nästan helt eller inte alls.

Uppgift 5.
Har gått rätt bra, dock är många lösningar ofullständiga.

Många som inte har hittat alla stationära punkter. Rätt många som räknat fel (och naturligtvis inte kollat att punkterna satisfierar ekvationerna; varför lyda goda råd när man i stället kan räkna fel).
Det fanns personer som satt igång med Q(h, k) fastän jag upprepade gånger har sagt att man inte gör det för denna typ av problem.
Några har helt struntat i randen.
Några har bara studerat hörnpunkterna, f(-1, -1), f(-1, 1), f(1, -1) och f(1, 1), men detta utgör ju bara randpunkter till de fyra segment som randen består av. Man måste studera f(-1, y), f(1, y), f(x, -1) och f(x, 1).
En del av de som räknar på alla fyra rand-segment, men missar randpunkter till segmenten (de fyra hörnpunkterna).
Några, inte så få, gör riktigt konstiga saker som att söka rötter till ekvationer av slaget f(-1, y) = 0. Det är ju inte funktionen som skall vara noll, det är derivatan.

Uppgift 6.

En del har bildat helt fel integrand, och får negativ volym, genom att ta botten - lock i stället för lock - botten.
Det fungerar inte med vanliga polära koordinater, man måste använda elliptisk-polära koordinater. En del använder polära koordinater utan att blinka, verkar det som. Man måste studera integrationsområdet (och integranden) för att se vilket variabelbyte som är lämpligt.

Uppgift 7.

Denna uppgift är enkel i princip, men lite svår i praktiken eftersom man måste kunna räkna rätt. Inte många har gjort det, men en handfull har löst problemet korrekt. Bra gjort!
Många har räknat ut förstaderivatorna korrekt, bara några enstaka har räknat rätt på andraderivatorna. En vanlig källa till fel är att man inte har tänkt på att man får derivatan av en produkt. Om man struntar i det aktuella problemet och studerar f(u(x, y), v(x, y)) och deriverar för allmänna u- och v-funktioner beräknar man f_xx på följande sätt (där jag struntar i att skriva ut '). Först den ena förstaderivatan:

f_x = f_u u_x + f_v v_x

Notera att f_u u_x och f_v v_x är produkter, så f_xx blir:

f_xx = (f_uu u_x + f_uv v_x) u_x + f_u u_xx + (f_vu u_x + f_vv v_x) v_x + f_v v_xx =
f_uu u_x² + 2 f_uv u_x v_x + f_vv v_x² + f_u u_xx + f_v v_xx

I den aktuella uppgiften är u_x = 1 och v_x = 1 / y så att

f_xx = f_uu + (2 / y) f_uv + f_vv / y²

Analogt för f_xy och f_yy där man måste kunna derivera 1 / y, med avseende på y, korrekt (något inte alla kan)

En del har fått fram en korrekt förenklad differentialekvation fastän andraderivatorna är felaktiga (det råkar bli rätt i uppgiften). Om man har löst differentialekvationen korrekt har man fått lite poäng för detta steg.

Uppgift 8.

Har gått dåligt. En del gör kardinalfel, (sin x - sin y) / (x - y) är inte lika med sin x / x - sin y / y t.ex. Andra missar är att sätta x = 0 och få kvoten (- sin y) / (-y) och förenkla den till - sin y / y och på detta sätt få fram olika gränsvärden för vägarna där x = 0 respektive y = 0.

Endast ett fåtal personer har resonerat intuitivt, som i mitt lösningsförslag. Alla skall veta att sin x är ungefär x för små x (Taylorutvecklingen finns dessutom i formelbladet), så alla borde ha kunnat approximera (sin x - sin y) / (x - y) med (x - y) / (x - y) = 1. Man vet då vad man skall bevisa.

Rätt många har inte förstått hur gränsvärden fungerar vilket är allvarligt. En funktion kan ha ett gränsvärde i en punkt, fastän inte funktionsvärdet inte existerar i punkten (vilket dessutom är normalfallet i övningarna). Man kan alltså inte säga att sin x / x saknar gränsvärde, när x går mot noll, på grund av att sin 0 / 0 inte är definierat. Vi vet ju att gränsvärdet existerar och är lika med ett, sin x / x närmar sig ett när x närmar sig noll, men kvoten blir aldrig ett. Gränsvärdet behöver dock inte antas för att det skall existera. Enda övningarna vi har haft där funktionen är definierad i punkten är när funktionen är kontinuerlig och gränsvärdet är lika med funktionsvärdet.