Ledning till sadelyteuppgiften

Ett sätt att angripa uppgiften är att bestämma hur en rät linje, som ligger i ytan, ser ut. Börja med att ansätta en allmän rät linje (i rummet) på parameterform. Kalla parametern t. Så x = ???, y = ??? samt z = ???, där Du får fylla i ??? själv. Om Du har glömt detta, se t.ex. Lay. 

Om du tycker att det är svårt med parameterframställning av räta linjer och plan, repetera! Detta är ju gammal skåpmat (läste jag i gymnasiet) och du skall åtminstone ha sett det i kursen i linjär algebra. Parameterframställning är viktigt i denna kurs och vi kommer normalt att hålla på med krökta kurvor (inte bara räta linjer). Kan man då teorin för räta linjer är det enklare att förstå det allmänna fallet. Om man inte kan hantera räta linjer så blir det jobbigt.

Om nu en punkt, (x, y, z), på linjen samtidigt skall ligga i sadelytan måste punkten satisfiera z = a x² - b y²   (a = 1.7 och b = 2.1 i labben, men denna härledning fungerar för godtyckliga positiva a och b). Skriv om den resulterande ekvationen så att Du får en nolla på den högra sidan. Den vänstra sidan kommer att vara ett andragradspolynom i parametern t, så vi har en ekvation av slaget p(t) = 0, där p är polynomet.

p(t) = 0 måste gälla för varje parametervärde t; hela den aktuella linjen skall ju ligga i ytan och inte bara en enstaka punkt. Detta medför att polynomet är nollpolynomet och koefficienterna (framför potenserna av t) måste då alla vara noll. Detta ger villkor på hur den räta linjen ser ut. Om t.ex. polynomet c0 + c1 t + c2 t^2 = 0 för alla t så måste alltså c0 = c1 = c2 = 0.

Man kan då välja en del variabler i parameterframställningen av den räta linjen, de övriga ges av de villkor man får från p(t)=0. Så om den allmänna riktningsvektorn har utseendet (v1, v2, v3) kanske man tar v1 = 1. Detta inskränker då den frihet man har för v2 och v3. Analogt för startpunkten. Om man alltså bestämmer tillräckligt många värden i startpunkt och riktningsvektor bestäms de övriga av de villkor man får från p(t)=0.

Vilka värden ska man välja då? Jo, det bestäms av de linjer man vill rita.

Man kan kontrollera sitt svar genom att rita linjer och yta i samma plot. Har man gjort skall ju linjerna då ligga i ytan. Så här t.ex.

figure(1)
hold off
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 30));  % om -1 <= x, y <= 1