N

Typiska tentaminsproblem

Kapitlar i läro- boken

Nyckelord: definitioner och metoder och som användes.

Datoraritmetik. Felanalys

1.

Ange absoluta och relativa fel man kan få vid beräkningen efter en formel på en dator med en given mackhin precision.

Använd Richardsonsextrapolation för att förbättra en given approximation..

1.2.2-5 1.3.1-5 1.3.8-9

Framställningen av reella tal i en dator. Basen. Mantissa. 8, 9 Maskinprecision. 12 Relativa fel vid beräkningar på en dator. 12 Avrundningsfel. Trunkeringsfel. Absoluta fel, relativa fel vid addition, subtraktion, multiplikation, division. 15

Felfortplantningsformel. Saknas! Richardsonsextrapolation.258

Linjära ekvationssystem

2.

1. Ange LU faktorisegringen för en liten matris (utan för långa beräkningar .) 2. Ange pivotelement på ett steg av LU faktoriseringen av en matris med partiell pivotering. 3. Uppskatta det antal operationer som behövs för att LU faktorisera en given matris, för att beräkna inversen av en matris, för att utgöra framåt, bakåt substitution, för att genomföra Cholesky metoden. 4. Uppskatta normen, konditionstalet till en matris.

2.1 - 2.2 utan 2.2.5,7,8

2.3-2.5 (utan 2.5.2)

Triangulär matris.38 Gausselimination, LU faktorisering,40 framåt, bakåtsubstitution. Pivotelement, pivotering.42 Diagonalt dominerande matriser och pivotering.

Vektornorm, matrisnorm. 52, 54 Konditionstal.55 -59 Singulära värden, System med positiva symmetriska matriser. Cholesky metod för symmetriska matriser.62 System med band matris.64

Minstakvadratproblem

3.

1. Formulera ett normalt ekvationssystem för att bilda en minstakvadrat approximation för en funktion given i ett ändligt antal punkter.

3.1-3.2, 3.4 (utan 3.4.5, 4 )

Minstakvadratlösningen till ett linjärt ekvationssystem.82 Normal ekvation.84 Minstakvadratproblem för triangulära matriser.88

Egenvärdesproblem

4.

Formulera för en given matris algoritmen med inversiterationer med skift för att beräkna ett egenvärde närmast ett givet värde.

4.1.1 -4 4.2.1 4.3.1-4 4.3.6-8

Egenvärde, egenvektor till en matris.113 Egenvärden av similära matriser. 117 Potensmetoden 124. Egenvärden av inversmatris med skift. 128 Inversiterationer med skift. Rayleighs kvot.129

Ickelinjära ekvationer

5.

1. Formulera metoden med fixpunktsiterationer för en ekvation eller ekvationssystem. Ange om den konvergerar i det konkreta fallet. 2. Använd Newtonsmetoden för att finna en lösning till en skalär ickelinjär ekvation med en viss noggrannhet. (två , max tre steg ).

5.1, 5.2.2-3, 5.3.1-2

Konvergensordning 151 -152. Fixpunktsiteration 154. Konvergens- kriteriet 156 för fixpunktsiteration. Jacobi matrisen ( samma som funktionalmat- risen) till en vektorvärd funktion. Newtons metod för ekvationer 156 och ekvationssystem 165.

Finita differenser. Noggrannhetsanalys.

6.

1. Beräkna med finita differenser approximativa värden av derivator till en funktion som är given i några punkter. 2. Använd Richardsonsextrapolation för att öka noggrannheten av beräkningar med finita differenser. 3. Gör en ordentlig feluppskattning för ett enligt någon numerisk metod beräknat värde. 4. Gör en ordentlig uppskattning av variation av en funktion eller av lösningen till en ekvation vid variation av ingående parametrar eller argument.

8.7-8.8

Taylors serie. Framåtdifferens. Bakåtdifferens. Centraldifferenser för första och andra derivator. 256-257 Richardsonextrapolation 259.

ODE. Begynnelsevärdesproblem

7.

1. Skriv en ODE av högre ordning som ett system av första ordnings- ekvationer. 2. Använd en explicit metod med finita differenser på ett konkret begynnelse-värdesproblem, utgör ett litet (typiskt två ) steg med metoden. 3. Formulera Newtons metod för att lösa en icke linjär ekvation som uppträder vid tillämpning av en implicit metod med finita differenser.

9.1-9.3 9.4 9.6.2-3

Begynnelsevrdesproblem för en ODE, och deras stabilitet 270-272. Lokalt, globalt fel. 276. Begreppen noggrannhet, stabilitet för en metod med finita differenser 276, 278. Eulers metod. Mittpunktsmetod. Runge-Kutta- 285. Heuns metod 286. Explicita, implicita metoder 280. Bakåt Eulersmetoden 280. Trapetsmetoden 281.

ODE. Randvärdesproblem.

8.

1. Formulera inskjutningsmetoden för ett randvärdesproblem för en ODE. 2. Diskretisera ett randärdesproblem för en ickelinjär ODE med lämpliga differensapproximationer på ett nät av nodpunkter för olika typer randvillkor. 3. Skriv upp formler för Newtons-iterationer för det uppkomna ekvationssystemet (beräkna den aktuella funktionen och dess Jacobi- matrisen).

10.1 10.2 10.4

 Olika typer av randvillkor för andragrads ODE. Randvärdesproblem. 301 Inskjutningsmetoden 302. Metoder med finita differenser för randvärdesproblem för ODE med olika randvillkor 305.

Partiella differentialekvationer.

9.

1. Inför ett nät i ett givet område och diskretisera ett randvärdesproblem för en linjär PDE med lämpliga differens-approximationer i nodpunkter.

2. Diskretisera klassiska ickestationära PDE. (Värmeledningsekvation, vågekvation eller advektionekvation)

11.1-2 11.3.1

(utan 11.2.2, 11.2.5)

Värmeledningsekvationen 316. Vågekvationen. Advektionekvationen.  Semidiskreta metoder för ickestationära PDE 317. Rent diskreta metoder med finita differenser för ickestationära PDE 319. Enkla explicita och implicita metoder för olika ekvationer och deras stabilitetsegenskaper och noggrannhet 320, 321, 322, 324. Metoder med finita differenser för Laplace och Poisson ekvationer med olika randvillkor 325,326.

Metoder med iterationer för linjära system.

10.

Formulera metoden med fixpunktiterationer. Visa om den konvergerar för ett ekvationssystem.

11.5.1-3

Fixpunktsiterationer 332 för linjära ekvationssystem. Konvergenskriteriet för fixpunktsiterationer. Jacobi metoden 333. Gauss-Seidel metoden 334.