N

Typiska tentaminsproblem

Kapitlarur läro- boken

Nyckelord: definitioner och metoder och som användes.

Linjära ekvationssystem

1. Ange LU faktoriseringen för en liten matris (utan för långa beräkningar .) 2. Ange pivotelement på ett steg av LU faktoriseringen av en matris med kolonnpivo-tering. 3. Uppskatta det antal operationer som behövs för att LU faktorisera en given matris, för att beräkna inversen av en matris, för att utgöra framåt, bakåt substitution, för att genomföra Cholesky metoden.

2.3-2.5 (utan 2.5.2)

Vektornorm, matrisnorm. Konditionstal. System med positiva symmetriska matriser. Cholesky metod för symmetriska matriser. System med band matris.

Minstakvadratproblem

2.

1. Formulera ett normalt ekvationssystem för att bilda en minstakvadrat approximation för en funktion given i ett ändligt antal punkter.

3.1-3.2, 3.4 (utan 3.4.5, 4 )

Minstakvadratlösningen till ett linjärt ekvationssystem. Normal ekvation. Minstakvadratproblem för triangulära matriser. Q-R faktoriseringen och dess tillämpning.

Egenvärdesproblem

3.

Formulera för en given matris algoritmen med inversiterationer med skift för att beräkna ett egenvärde närmast ett givet värde.

4.1.1 -4 4.2.1 4.3.1-4 4.3.6-8

Egenvärde, egenvektor till en matris. Egenvärden av similära matriser. Potensmetod. Egenvärden av inversmatris med skift. Inversiterationer med skift. Rayleighs kvot.

Ickelinjära ekvationer

4.

1. Formulera metoden med fixpunktsiterationer för en ekvation eller ekvationssystem. Ange om den konvergerar i det konkreta fallet. 2. Använd Newtonsmetoden för att finna en lösning till en skalär ickelinjär ekvation med en viss noggrannhet. (två , max tre steg ).

5.1, 5.2.2-3, 5.3.1-2

Konvergensordning. Fixpunktsiteration. Konvergenskriteriet för fixpunktsiteration. Jacobi matrisen ( samma som funktionalmatrisen) till en vektorvärd funktion. Newtons metod för ett ekvationssystem.

Noggranhetsanalys. Finita differenser.

5.

1. Beräkna med finita differenser approximativa värden av derivator av en funktion som är given i några punkter. 2. Använd Richardsonsextrapolation för att öka noggrannheten av beräkningar med finita differenser. 3. Gör en ordentlig feluppskattning för ett enligt någon numerisk metod beräknat värde. 4. Gör en ordentlig uppskattning av variation av en funktion eller av lösningen till en ekvation vid variation av ingående parametrar eller argument.

8.7-8.8

Avrundningsfel. Trunkeringsfel. Absoluta fel, relativa fel vid addition, subtraktion, multiplikation, division, beräkningen av potens. Felförplantningsformel. Taylors seria. Framåtdifferens. Bakåtdifferens. Centraldifferenser för första och andra derivator. Richardsonextrapolation.

ODE. Begynnelsevärdesproblem

1. Skriv en ODE av högre ordning som ett system av första ordnings- ekvationer. 2. Använd en explicit metod med finita differenser på ett konkret begynnelse-värdesproblem, utgör ett litet (typiskt två ) steg med metoden. 3. Formulera Newtons metod för att lösa en icke linjär ekvation som uppträder vid tillämpning av en implicit metod med finita differenser.

9.1-9.3 9.4 9.6.2-3

Begynnelsevrdesproblem för en ODE, och deras stabilitet.. Lokalt, globalt trunkeringsfel. Avrundningsfel. Felspridning. Noggrannhet, stabilitet och konvergens begrepp för en metod med finita differenser. Euler metoden. Mittpunktsmetod. Runge-Kutta-metoder. Heuns metod. Explicita, implicita metoder. Bakåt Eulersmetoden. Trapetsmetoden.

ODE. Randvärdesproblem.

7.

1. Formulera inkjutningsmetoden för ett randvärdesproblem för en ODE. 2. Diskretisera ett randvärdesproblem för en ickelinjär ODE med lämpliga differensapproximationer på ett nät av nodpunkter för olika typer randvillkor. 3. Skriv upp formler för Newtons-iterationer för det uppkomna ekvationssystemet (beräkna den aktuella funktionen och dess Jacobi- matrisen).

10.1 10.2 10.4

 Olika typer av randvillkor för andragrads ODE. Randvärdesproblem. Inskjutningsmetoden. Metoder med finita differenser för randvärdesproblem för ODE med olika randvillkor.

Partiella differentialekvationer.

8.

1. Inför ett nät i ett givet område och diskretisera ett randärdesproblem för en linjär stationär ODE med lämpliga differensapproximationer på nätet av nodpunkter och för givna randvillkor
2. Gör samma för ickestationära värmeledningsekvationen med semidiskreta och rentdiskreta metoden.

(utan 11.2.2, 11.2.5)

Värmeledningsekvationen. Vågekvationen.  Semidiskreta metoder med finita differenser för ickestationära PDE. Rent semidiskreta metoder med finita differenser för ickestationära PDE. Enkla explicita och implicita metoder och deras stabilitetsegenskaper och noggrannhet. Crank-Nicolson metoden. Metoder med finita differenser för Laplace och Poisson ekvationer med olika randvillkor.

Metoder med iterationer för linjära system.

9.

Formulera metoden med fixpunktiterationer. Visa om den konvergerar för ett ekvationssystem.

11.5.1-3

Fixpunktsiterationer för linjära ekvationssystem. Konvergenskriteriet för fixpunktsiterationer. Jacobi metoden. Gauss-Seidel metoden. Tillräckliga konvergensvillkor för dessa.

Datoraritmetik. Interpolation.

10.

Ange noggrannheten man kan få vid beräkningen av en funktion eller enligt en formel på en dator med en given machin precision.

1.2.2-5 1.3.1-5 1.3.8-9

Framställningen av reela tal i en dator. Basen. Mantissa. Machinprecision. Relativa fel vid beräkningar på en dator.

11.

Beräkna interpolationspolynom för givna mätdata.

7.1 7.2.1-3 7.2.6

 Newtons interpolationspolynom. Lagranges interpolationspolynom. Runge effekt.