Ytterligare uppgifter till ODE - kursen 2001

1. Bestäm samtliga lösningar till följande ekvationer, och skissera några typiska lösningskurvor i ty – planet.

a) y′ = 2ty^{2}.

b) y′ = t^{2}y^{2} − 4t^{2}.

2. Låt −∞ ≤ C ≤ K ≤ ∞. Det finns en kontinuerlig funktion f : [−1, 0) × ℝ ⟶ ℝ och en lösning y : [−1, 0) ⟶ ℝ till differentialekvationen

y′(t) = f(t, y(t)), −1 ≤ t < 0,

sådana att

|f(t, x) − f(t, y)| = 0, −1 ≤ t < 0, x, y ∈ ℝ,

och

lim inf_{t⟶0} y(t) = C, lim sup_{t⟶0} y(t) = K.

3.a) För alla t_{0}, y_{0} ∈ ℝ har begynnelsevärdesproblemet

y′(t) = 2ty(t), y(t_{0}) = y_{0},

exakt en lösning som torde kunna “beräknas direkt” och som naturligtvis också kan beräknas med hjälp av separata variabler metoden.

b) Låt

T g(t) := 1 + ∫_{0}^{t} 2sg(s)ds, t ∈ ℝ,

för alla kontinuerliga funktioner g : ℝ ⟶ ℝ. Låt

T^{1} := T och T^{n+1}g := T T^{n}g, n = 1, 2, 3, …

Låt nu g(t) = 1 för alla t ∈ ℝ. Följden (T^{n}g)_{n∈ℕ} konvergerar mot lösningen till begynnelsvärdesproblemet

y′(t) = 2ty(t), y(0) = 1.

4. Betrakta pendelekvationen

y′′(t) + sin(y(t)) = 0.

a) För alla (t_{0}, y_{0}, y_{0}^{(1)}) ∈ ℝ^{3} finns exakt en lösning y : ℝ ⟶ ℝ till pendelekvationen vilken satisfierar begynnelsevillkoret

y(t_{0}) = y_{0}, y′(t_{0}) = y_{0}^{(1)}.  (1)

b) Låt y vara lösningen till pendelekvationen vilken satisfierar begynnelsevillkoret (1), där 0 < y_{0} < π, y_{0}^{(1)} = 0. Det finns en T, 0 < T < ∞, sådan att

y(T/4) = 0 och y(t) > 0, 0 < t < T/4.

5. Låt y vara som i uppgiften 4. b).

a) Låt

x(t) := −y(T/4 + t), z(t) := y(T/4 − t).

Bevisa att även x och z är lösningar till pendelekvationen och satisfierar samma begynnelsevillkoret vid tidpunkten 0, dvs x(0) = z(0) och x′(0) = z′(0). Varför medför det att x = z på hela den reella axeln? Observera också att y(T/2) = −y_{0} och y′(T/2) = 0.

b) Låt

x(t) := y(T/2 + t), z(t) := y(T/2 − t).

Bevisa att x = z på hela den reella axeln, y(T) = y_{0} och y′(T) = 0. Dessutom bevisa att y är T – periodisk dvs

y(t + T) = y(t), t ∈ ℝ.

6. Låt

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) .

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

\underline{y}′(t) = A \underline{y}(t), t ∈ ℝ.

b) Bestäm lösningen som satisfierar begynnelsevillkoret

\underline{y}(0) = (1 1 1)^{T} .

Anmärkning: När man har gjort uppgiften 7 kan man praktiskt tagit entydighetsbeviset till Picard – Lindelöfs sats.

7. Låt A vara en reell n × n – matris, t_{0} ∈ ℝ och \underline{y} och \underline{z} lösningar till begynnelsevärdesproblemet

\underline{y}′(t) = A · \underline{y}(t), \underline{y}(t_{0}) = \underline{y}_{0}.

a) Det gäller

\underline{y}(t) = \underline{y}_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} A · \underline{y}(s)ds, t ∈ ℝ

och

\underline{z}(t) = \underline{y}_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} A · \underline{z}(s)ds, t ∈ ℝ.

b) Låt \overline{st} := \{λs + (1 − λ)t : 0 ≤ λ ≤ 1\} vara strecken mellan punkterna s och t.

∥ \underline{y}(t) − \underline{z}(t) ∥≤ |t − t_{0}| ∥ A ∥ sup_{s∈\overline{t_{0}t}} ∥ \underline{y}(s) − \underline{z}(s) ∥

för alla t ∈ ℝ. Det medför att

\underline{y}(t) = \underline{z}(t), om |t − t_{0}| ∥ A ∥< 1.

c) Det gäller även \underline{y}(t) = \underline{z}(t) på hela den reella axeln.

8. Låt

A := ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) , \underline{y}_{0} := ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} ) .

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationssystemet

\underline{y}′(t) = A · \underline{y}(t), t ∈ ℝ.

b) Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet

\underline{y}′(t) = A · \underline{y}(t), t ∈ ℝ, \underline{y}(0) = \underline{y}_{0}.

c) Bestäm den allmänna lösningen till

\underline{y}′(t) = A\underline{y}(t) + e^{2t} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , t ∈ ℝ,

och lösningen som satisfierar \underline{y}(0) = (2 2 2)^{t}.

9. Låt J vara en n × n – matris, U en inverterbar n × n – matris och

A = U^{−1}JU.

Låt \underline{z}_{1}, \underline{z}_{2}, …, \underline{z}_{n} vara n linjärt oberoende lösningar till differentialekvationssystemet

\underline{z}′(t) = J\underline{z}(t), t ∈ ℝ.

Då är kolonnerna av matrisen

U^{−1}(\underline{z}_{1} \underline{z}_{2} … \underline{z}_{n})U

linjärt oberoende lösningar till

\underline{y}′(t) = A\underline{y}(t).

10. Låt \underline{g} : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} vara en kontinuerlig funktion sådan att för varje t_{0} ∈ ℝ and varje \underline{y}_{0} ∈ ℝ^{n} begynnelsevärdesproblemet

\underline{y}′(t) = \underline{g}(\underline{y}(t)), \underline{y}(t_{0}) = \underline{y}_{0},

har exakt en lösning. (T ex, det är sant om funktionen \underline{g} är Lipschitzkontinuerlig). Låt \underline{y} vara en lösning till \underline{y}′(t) = \underline{g}(\underline{y}(t)).

a) Låt T > 0. Det gäller följande implikation:

∃t_{1} ∈ ℝ : \underline{y}(t_{1}) = \underline{y}(t_{1} + T) ⟹ ∀t ∈ ℝ : \underline{y}(t) = \underline{y}(t + T).

b) Låt t_{n}, n ∈ ℕ, and t_{∞} vara reella tal sådana att t_{n} ≠ t_{∞} för alla n ∈ ℕ och följden (t_{n})_{n∈ℕ} konvergerar mot t_{∞}. Om

\underline{y}(t_{∞}) = \underline{y}(t_{n}), n ∈ ℕ,

då är lösningen \underline{y} konstant.