CHALMERS/Göteborgs Universitet
Matematik
Kjell Holmåker

TMA045, Egenvärdesproblem och Fourieranalys för M3 02/03

Kurs PM

Examinator-föreläsare: Kjell Holmåker
tel: 7723567 (arb) 7723500 (exp) epost:kjellh@math.chalmers.se
Kurslitteratur: Jan Petersson Fourieranalys (FA) DC, E-huset
F Eriksson och C-H Fant Egenvärdesproblem (EP) Mat. inst.
C-H Fant Kompletterande papper (Komp.) Mat. inst.
Jan Södersten Mathematica - 4! en introduktion http://www.math.chalmers.se/~soderst/

Kursomfattning:
FA: Kap 1, kap 2, 3.1 - 3.5, 3.7, 3.10, 4.1 - 4.3, 4.7 - 4.12, 5.1 - 5.4, 6.1 - 6.7, 7.3 (övningar).
EP: Hela boken.
Komp.: Diskret Fouriertransform och matrisexponentialfunktionen 

Kursens syfte

Syftet med kursen är att ge en stabil grund bland annat för de avancerade kurser i mekanik och hållfasthetslära som ges senare i utbildningen. På vägen dit kommer vi också att kunna se tillbaka på tidigare kurser, varvid en del matematiska metoder du redan använt kommer att få en (ny?) förklaring. De metoder som behandlas i kursen kommer att ges en ordentlig teoretisk grund. Det är ju alltid centralt att veta när man får använda en viss metod. Samtidigt kommer vi hela tiden att ha sikte mot tillämpningar i ex.vis mekanik.

Examination

Examination för godkänt och betyg 4 görs i form av inlämningsuppgifter. Tidigare studenter har ansett uppgifterna roliga, intressanta och givande men inte enkla. Delar av dessa uppgifter löses med hjälp av det symbolhanterande datorprogrammet Mathematica, vissa delar löses med Matlab, vissa moment är ''handräkning''. Vissa deluppgifter är överbetygsuppgifter, dessa krävs för betyg fyra och fem. För betyg fem ingår också en muntlig teoritentamen eller motsvarande.

Undervisning

De tre första veckorna kommer vi att träffas i ML 9 tisdagar kl 10-12 och onsdagar kl 8-10. Läsveckorna 4 och 5 är preliminärt avsedda för eget arbete och för konsultationer, tider för detta kommer att bestämmas under vecka 3. Tanken är att det skall vara möjligt att vara klar med de tre första inlämningsuppgifterna under vecka 5. Vecka 6 kommer vi att träffas i ML9 tisdag och onsdag och dessutom ha konsultationstid. Vecka 7 preliminärt enbart konsutationstid.

Innehåll

I kursen behandlas först steg- och impulsfunktioner, som används exempelvis för att beskriva insvängningsförlopp och liknande. Därefter studeras Laplacetransformen, som har den goda egenskapen att derivering motsvaras av multiplikation med variabeln på transformsidan. Laplacetransformen är därför synnerligen lämplig att använda i samband med linjära differentialekvationer med mer eller mindre komplicerade högerled. Vi skall också se hur man kan använda Mathematica för att beräkna Laplacetransformer och lösa system av differentialekvationer.

Vi studerar därefter dynamiska system i den form de uppträder exempelvis i reglerteknik. Vi skall undersöka några egenskaper hos dynamiska system som gör det enkelt att bestämma systemets utsignal vid given insignal. Begrepp som överföringsfunktion och frekvensöverföringsfunktion kommer att få sina matematiska förklaringar.

Nästa moment är ett kapitel om Fourierserier där vi börjar med den trigonometriska Fourierserien. Vi tar upp Parsevals formel och Fourierserien på amplitud-fasvinkelform. En naturlig fortsättning är den komplexa Fourierserien som vi kommer att utnyttja för att bestämma en lösning till svängningsekvationen My'' + Dy' + Ky = f(t) där f(t) är en periodisk funktion. Den som kan j-omega - metoden kommer att känna igen sig.

Såväl den komplexa Fourierserien som frekvensöverföringsfunktionen leder naturligt till Fouriertransformen, som har samma sympatiska egenskaper som Laplacetransformen. Båda dessa kan vi utnyttja såväl då vi studerar svängningsekvationen med f(t) icke-periodisk som vid studiet av allmännare dynamiska system. Detta ger en god grund för framtida studier av ex.vis ljudutbredning.

Vi fortsätter sedan med att undersöka kopplade odämpade svängningar. Först skall vi se hur man bestämmer ett sådant systems egensvängningar och egenvinkelfrekvenser med hjälp av matrismetoder, därefter skall vi undersöka svängningsekvationen allmänt. I svängningsekvationen är M och K matriser, y(t) och f(t) är vektorer. Här kommer vi att kombinera metoder från de tidigare momenten med matristekniken. Vi skall också se hur man i praktiken kan bestämma en svängnings frekvenser med hjälp av Matlabs program för diskret Fouriertransform fft. Även dämpade kopplade svängningar kommer att behandlas.

Nästa moment är egenvärdesproblem för differentialoperatorer. De tekniska eller fysikaliska problem, som vi har som mål att lösa är Eulers olika knäckningsfall, svängningar i en sträng, svängningar i en balk, värmeledning, diffusion mm. Här kommer vi åter tillbaka till Fourierserierna. För vissa tillämpningar behöver vi emellertid en lite allmännare syn på dessa serier. I slutet av kursen kommer vi därför att studera utveckling i allmänna ortogonalserier.

Inlämningsuppgifter:

De första tre inlämningsuppgifterna är delvis datorövningar med syfte bl.a. att ge viss kunskap om Mathematica. Dessa kan det vara lämpligt att två studenter gör tillsammans. Den fjärde inlämningsuppgiften har mer karaktären av hemtenta. Givetvis tillåter jag samarbete även vad gäller denna, men den personliga insatsen är ett krav och för att nå kursens mål måste var och en arbeta mycket aktivt med uppgifterna, de är inte enkla men lärorika. Lösningarna illustreras lämpligen med hjälp av Matlab/Mathematica.

Kursens mål:

Arbetet med kursen skall leda till att du behärskar ett antal olika "verktyg". Dessa används i många tillämningar. För att kunna lösa inlämningsuppgifterna behöver du behärska de flesta. Som delproblem i ovanstående ingår i allmånhet följande problemtyper: Teori: Den muntliga teoritentamen berör lösningsmetoder, motiveringar av dessa och förutsättningar för deras tillämpning, vilka satser som ligger till grund för en viss lösningsmetod och bevis av dessa satser.


Preliminär tidplan.
Vecka Kapitel, uppgifter lämpade för genomgång "Lämpliga träningsuppgifter"
1 FA 1, 2, 4.8 - 12, Något om Mathematica
FA 1: 2g 3h 4b 6b 7g 9b 10c FA 1: 1abd 2bdf 3bd 4a 5b 6a 7bce 9ae 10ab
FA 2: 1hjnw 2d 3c 5g FA 2: 1abcdfgiu 2c 3bd 5beh
FA 4: 43ce 70e 73ade FA 4: 43abd 70abcd 72
Inlämningsuppgift 1
2 FA 3, 4
FA 3: 4 24 47b FA 3: 6abde 9 25a 22 25a 48a 45
FA 4: 2b 3b 7 11js 19 FA 4: 2f 3c 6ab 11defim 14dk 18 74
3 EP 1, 2
EP 1: 2 3c 4c 7' 9' 10' 11' 13 14' EP 1: 1 3ab 4ab 5a 6 7 9 10 11b 12 14 16a 17
Inlämningsuppgift 2
EP 2: 25b 28d 30 35 38f 41 45 47 EP 2: 25a 26 28abc 32a 33 34 37 38abc 39 31
EP 2: 38e 40 43 44 27 46 48 36 38g 42
Inlämningsuppgift 3
4 Eget arbete Ingen undervisning
5 Eget arbete Konsultationer
6 FA 5,6 och 7 FA 5: 1abcdef
EP 2: 56 58 EP 2: 57 58
FA 7: 2 5 FA 7: 1 4 8 10 11 3 6
Inlämningsuppgift 4
7 Arbete med inlämningsuppgift 4