OPTIONER OCH MATEMATIK (CTH[T MA155]&GU[MAM690])

lp4, våren 2003

Examinator, lärare: Christer Borell, tel 772 35 53 (arbete), 92 18 93 (hem), Per Hörfelt 772 10 48

Läromedel: Christer Borell, Optioner och matematik (kompendium som finns att köpa på matematikexpeditionen)

Föreläsningar i sal VH : Må 10^{00}-11^{45} och ti 13^{15}-15 veckorna 12-14, 18-21.

Demonstration i storgrupp i sal VH: Ti 15^{15} − 17 veckorna 12-14.

Gruppövningar i MD1 och MD6: Ti 15^{15} − 17 veckorna 18-21.

PRELIMINÄR PLAN FÖR FÖRELÄSNINGARNA

Läromedlets appendix ”Konvexitet i R^{n}” ingår i kursen men genomgås ej på föreläsningarna. Avsnittet är lämpligt att studera på egen hand redan från början av kursen.

Vecka 12

Finansiella derivat av amerikansk och europeisk typ. Terminskontrakt. Dominansprincipen. Konvexitetsegenskaper för europeiska köp-och säljoptioners priser. Binomialmodellen med en period.

Vecka 13 Binomialmodellen med flera perioder.

Vecka 14

Gaussiska stokastiska variabler. Karakteristisk funktion. Slumpvandring. Centrala gränsvärdessatsen. Brownsk rörelse och Bachelier-Samuelsons modell.

Vecka 18

Representationsformler för lösning av differentialekvationer med hjälp av Brownsk rörelse. Några samband mellan Gaussisk slumpvandring och numeriska metoder för värmeledningsekvationen.

Vecka 19

Black-Scholes modell och differentialekvation. Köp- och säljoptioner av europeisk typ på aktier och valutor.

Vecka 20

Köpoptioner på terminskontrakt enligt Black-76. Black-Scholes priser för exotiska optioner. Känslighetsanalys: delta, gamma osv.

Vecka 21

Aktieoptioner för utdelande aktier. Bivariat Brownsk rörelse. Bytesoptioner. Optioner på max och min.

EXAMINATION

Sista dag för inlämning av inlämningsuppgifter:

Inlämningsuppgift 1: 1 april kl 14.45

Inlämningsuppgift 2: 13 maj kl 14.45

Uppgifterna lämnas in av grupper om högst 3 personer.

Tentamenstider:

30 maj 2003 , fm, 4 timmar, v 6 sept 2003, fm, 4 timmar, v 24 jan 2004, fm, 4 timmar, v

Betyg:

Det skriftliga slutprovet omfattar 23 poäng. Kursen har två ej obligatoriska inlämningsuppgifter. Man kan maximalt erhålla 2 × 1.5 poäng från denna del. Erhålls X poäng på slutprovet och sammanlagt Y poäng från de två inlämningsuppgifterna beräknas nyckeltalet

S = [X + A × Y]

där [r] betyder heltalsdelen av r och A = 1 på tentorna i maj och september 2003 och A = 0 i januari 2004. Det krävs att nyckeltalet S minst är lika med 10 för godkänt. På Chalmers ger 15 ≤ S < 20 en 4:a och S ≥ 20 en 5:a; på GU ger S ≥ 18 betyget V G.

Teorifrågor:.

Det skriftliga slutprovet omfattar alltså 23 poäng; problemdelen omfattar 12 poäng och teoridelen 11 poäng. Teori uppfattas som läromedlets text och behöver därför inte endast vara formulerade satser. Minst 5 av de 11 poängen från teoridelen hämtas från följande lista:

kap 1: Visa att det ej är optimalt att lösa in en aktieköpoption av amerikansk typ före slutdagen då aktien ej ger utdelning. kap 2: sats1; sats 2 kap 3: sats 1; sats 2; sats 4; sats 5; Låt (X_{k})_{k=1}^{n} vara en reellvärd Gaussisk process. Visa att X_{1}, ..., X_{n} är stokastiskt oberoende om Cov(X_{j}, X_{k}) = 0 för j ≠ k. kap 4: sats 1; värdera köpoptioner på terminskontrakt enligt Black-76. kap 5: exempel 1; exempel 2 kap 6: sats 1, N = 0; En aktie utdelar beloppet D vid tiden t_{∗}. Visa att det kan vara optimalt att lösa in en aktieköpotion av amerikansk typ precis före utdelningen frånskiljs aktien. Appendix: sats 2, sats 3

Hjälpmedel på det skriftliga slutprovet:

Beta.

Välkomna!

Göteborg 18 september 2003 Christer Borell