Z1 vt-98: Flervariabelanalys, lästips under lp 3

Kapitel 1

• 1.4 Inledningen visar olika sätt att beteckna vektorvärda funktioner av flera variabler. Dessa är nödvändiga för fortsättningen. Man skall också känna till begreppen

  funktionsyta
  nivåkurva,nivåyta
  rotationssymmetri (sid 15)

  Läs alla exemplen, men speciellt 15 och 17 särskilt noga!
  

Kapitel 2

• 2.1 Hela är viktigt och kan läsas nu, men exempel 5 kan man vänta med till andra halvlek.
• 2.2 Detta tar vi främst upp under period 4, men man skall redan nu lära sig ekvationen för tangentplanet (formel (9)), läsa exempel 6 och lära sig intuitivt vad C¹ står för.
• 2.3 Detta är ett centralt avsnitt även för vår första behandling. Man kan just nu hoppa över beviset av kedjeregeln och den exakta formuleringen av satsen. I stället bör man koncentrera sig på att lära sig och att använda formlerna (19) och (22). Av exemplen kan man nu koncentrera sig på 11-15.
• 2.4 Observera begreppen

  gradient (och olika sätt att beteckna den)
  riktningsderivata (observera att vektorn är normerad!)

  Satserna 6,7,8 är mycket viktiga. Man kan redan nu lära sig bevisen för dem. Jobba särskilt med exemplen 18,19,22, men gör även de övriga.
• 2.5 Innehållet i sats 9 är viktigt. Jobba igenom exemplen 25,26 och 27 ordentligt.
• 2.6 Man måste veta hur taylorpolynomen av ordning 1 och 2 ser ut. Dessa framgår av formlerna (28) för två variabler och (30) rent allmänt. Gör t.ex exempel 28. Sedan går avsnittet över i att undersöka lokala extremvärden. För detta är sidorna 86-89 viktiga. Måste läsas ordentligt. Sedan följer exemplel på detta. Typiska exempel är 34 och 35, men den som behöver repetition av kvadratiska former kan behöva titta på 32 och 33 också . Exempel 36 handlar om en situation där man inte kan dra någon slutsats av den kvadratiska formen. Den kompletterande teorin kan man ta det lugnt med. I samband med föreläsningarna gör vi en specialstudie av den kvadratiska formen Q(h,k)=Ah²+2Bhk+Ck² och får fram att om
  1. AC-B²<0 är den indefinit.
  2. AC-B²>0 så är den positivt definit om A>0 och negativt definit om A<0.
  3. AC-B²=0 är den semidefinit.

Kapitel 3

• 3.1 Lägg märke till hur man beskriver kurvor,x=x(t), och ytor x=x(s,t). Observera också att x'(t) ger en tangentvektor till kurvan.
• 3.2 Här är det begreppet funktionalmatris man måste känna till. Begreppet linjarisering används ofta. Av exemplen kan man lägga särskilt märke till: 7,8. Att man kan skriva kedjeregeln med hjälp av matriser är praktiskt.
• 3.3 Begreppet funktionaldeterminant återkommer även längre fram så det skall man satsa på. Inte minst måste man känna igen (och skilja på) de beteckningar som används för funktionalmatris respektive funktionaldeterminant. Läs exemplen 11,12 ordentligt. Övertyga dig om att du kan se sats 1 som kedjeregeln i kombination med produktregeln för determinanter. Man skall också i grova drag förstå "Inversa funktionssatsen" och se den som en trolig konsekvens av linjarisering och därefter linjär algebra.
• 3.4 Implicita funktionssatsen skall man också övertyga sig om att man i princip tror på. Läs noga exemplen 14 (spec. andra halvan) och 16.