Förslag till lösnining av inlämningsuppgif 1


 
Den gröna texten är den föreslagna lösningen.
 
Let  S( x )  be the number of sunligt hours on a cloudless June 21, as a funktion of latitude,  x , measured in degrees.
 
a) What is  S( 0) ?
 
S( 0)  är antalet soltimmmar midsommardagen vid ekvatorn. Se figur. Oavsett hur jordaxeln lutar i förhållande till det plan som går genom solen och jordens medelpunkter kommmer alltid halva ekvatorn att vara solbelyst, eftersom det är en cirkel av maximal radie på jorden. (Detta gäller för alla sådana cirklar utom en, vilken? . Eftersom ekvatorn ligger i ett plan vinkelrät mot jordens rotationsaxel betyder detta att antalet soltimmar där är hälften av ett dygn, dvs 12 timmar. (Gäller varje dag vid ekvatorn.)
 
Svaret  S( 0) = 12  hade också räckt.
 
b) Let  x0  be the latitude of the Arctic Circle ( x0  66°30' ). In the northen hemisphere,  S( x) is given, for some constants  a  and  b , by the formula:
         S( x) =    a + b arcsin( tan( x) / tan( x0)) 
24 		for  0 < x < x0
for  x0< x < 90. 		Förklaring till formeln.
Find  a  and  b  so that  S ( x)  is continuous.
 
Vi har att  12 = S ( 0) = a . För kontinuitet krävs att  S ( x)  S( x0) = 24 , när  x  x0 . Eftersom arcussinus och tangens är kontinuerliga funktioner har vi att
S( x)  a + b arcsin( tan( x0) / tan( x0)) = a + b arcsin( 1),
när  x  x0 . Funktionen  arcsin( t)  ger en vinkel (mätt i radianer) mellan  -  och   , sådan att sinus av den blir  t , dvs  arcsin( 1) =  / 2. Vi ska alltså ha
24 = a + b  / 2 = 12 + b  / 2 ,
så  b = 24 / .
(Räknedosans  sin-1  ger olika svar beroende på om dosan är ställd på radianer eller grader, så  sin-1  betecknar egentligen två olika funktioner. Om man i formeln ovan, och det kan vara vettigt när man ska rita grafen på en grafritare, ersätter  arcsin  med  sin-1  med räknare inställd på grader får man i stället  b = 24 / · / 180 = 2 / 15).
 
a = 12  och  b = 12 / 
(Svaret a = 12  och  b = 2 / 15  är också godkänt, med motivering att man räknar i grader.)
 
c) Calulate S( x) for Tucson, Arizona ( x = 32°13') and Walla Walla, Washington ( 46°4').
 
Räknedosan ger (observera att  32°13' = ( 32 + 13 / 60)° eftersom räknedosan räknar med decimaler av grader och inte minuter är detta viktigt)
S( 32 + 13 / 60) = 14.12
S( 46 + 4 / 60) = 15.58,
eller  14 timmar och 7 minuter  respektive  15 timmar och 35 minuter .
 
Svar:  14 timmar och 7 minuter  respektive  15 timmar och 35 minuter .
 
 d) Graph  S( x) , for  0< x < 90.
 
En grafritande räknare, eller annat matematikprogram, ger följande graf till funktionen

 
e) Does  S( x)  appear to be differentiable?
 
Av figuren tycks det som om grafen har en välbestämd tangentlinje i alla punkter utom i punkten där  x = x0 , så svaret får bli nej (baserat på figuren).