$\textstyle\parbox{8cm}{MATEMATIK \\ Chalmers tekniska högskola\\ }$ $\textstyle\parbox{6cm}{Envariabelanalys I, del A, H01\\ }$

Komplettering av bevis till vissa satser i kurslitteraturen.


Sats Vi förutsätter att $f(x)\rightarrow A$ och $g(x)\rightarrow B,$ när $x\rightarrow c$. Då gäller också att

1.
$f(x)+g(x)\rightarrow A+B$
2.
$f(x)g(x)\rightarrow AB,$
när $x\rightarrow c$.

Bevis Förutsättningarna ger att det för varje tal $\epsilon_{1}$ och $\epsilon_{2}\gt$ finns tal $\delta_{1}$ respektive $\delta_{2},$ så att

\begin{displaymath} \vert f(x)-A\vert<\epsilon_{1},\mbox{ när }0<\vert x-c\vert<\delta_{1} \end{displaymath}

\begin{displaymath} \vert g(x)-B\vert<\epsilon_{2},\mbox{ när }0<\vert x-c\vert<\delta_{2}. \end{displaymath}

1)    Givet $\epsilon\gt$ ska vi bestämma ett $\delta\gt,$ så att $\vert f(x)+g(x)-(A+B)\vert<\epsilon,$ när $0<\vert x-c\vert<\delta$.

Men $\vert f(x)+g(x)-(A+B)\vert\leq \vert f(x)-A\vert+\vert g(x)-B\vert,$ så om vi ovan väljer $\epsilon_{1}=\epsilon_{2}=\epsilon/2$ och låter $\delta$ vara det minsta av de två talen $\delta_{1}$ och $\delta_{2}$ vi då får så har det den egenskap vi vill.

2)    Vi visar först påståendet i fallet A=0=B. Vi ska då givet $\epsilon\gt$ bestämma $\delta\gt,$ så att $\vert f(x)g(x)\vert<\epsilon,$ när $0<\vert x-c\vert<\delta.$

Men |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|, så om vi ovan väljer $\epsilon_{1}=\epsilon_{2}=\sqrt{\epsilon}$ och låter $\delta$ vara det minsta av de två talen $\delta_{1}$ och $\delta_{2}$ vi då får så har det den egenskap vi önskar.

Vi visar nu att påståendet gäller utan inskränkningen A=0=B. Vi gör omskrivningen

f(x)g(x)=(f(x)-A)(g(x)-B)+Bf(x)+Ag(x)-AB

Eftersom f(x)-A och g(x)-B båda $\rightarrow 0,$ när $x\rightarrow c,$ gäller, enligt vad vi visat, att även deras produkt $\rightarrow 0$. Enligt 1) kan vi nu dra slutsatsen att $f(x)g(x)\rightarrow 0+BA+AB-AB=AB,$ när $x\rightarrow c$.


Kedjeregeln Om g(x) är deriverbar i a och f(x) är deriverbar i g(a), så är f(g(x)) deriverbar i a med derivata f'(g(a))g'(a).

Bevis Vi ska undersöka differenskvoten

\begin{displaymath} \frac{1}{h}(f(g(a+h))-f(g(a))), \end{displaymath}

när $h\rightarrow a$. Vi börjar med att införa beteckningen $\Delta g=g(a+h)-g(a)$. Efter som g är deriverbar i a och därför kontinuerlig i a, gäller dels att $\Delta g/h\rightarrow g'(a),$ dels att $\Delta g\rightarrow g(a),$ när $h\rightarrow 0$.

Omskrivningen ger oss ($g(a+h)=g(a)+\Delta g$)

\begin{displaymath} \frac{1}{h}(f(g(a+h))-f(g(a)))=\frac{1}{h}(f(g(a)+\Delta g)-f(g(a)))=Q \end{displaymath}

Den linjära approximationen till f i g(a) är f(g(a))+f'(g(a))(x-g(a)). Felet till den linjära approximationen är E(x)=f(x)-f(g(a))-f'(g(a))(x-g(a)). Det relativa felet är E1(x)=E(x)/(x-g(a)). Vi vet att $E_{1}(x)\rightarrow 0,$ när $x\rightarrow g(a)$. Sätter vi alltså E1(g(a))=0, är E1(x) kontinuerlig i g(a). Vi ser att f(x)-f(g(a))=f'(g(a))(x-g(a))+(x-g(a))E1(x).

Med detta skriver vi om kvoten Q ovan genom att välja $x=g(a)+\Delta g:$

\begin{displaymath} Q=\frac{1}{h}(f'(g(a))\Delta g +\Delta g E_{1}(g(a)+\Delta g))=f'(g(a))\Delta g/h+(\Delta g/h)E_{1}(g(a)+\Delta g) \end{displaymath}

När $h\rightarrow 0$ har vi att $\Delta g/h\rightarrow g'(a)$ och dessutom $E_{1}(g(a)+\Delta g)\rightarrow 0$ eftersom E1(x) är kontinuerlig i g(a) och $\Delta g\rightarrow 0,$ när $h\rightarrow 0$.

Tillsammans ger detta

\begin{displaymath} Q\rightarrow f'(g(a))g'(a)+g'(a)\cdot 0=f'(g(a))g'(a),\end{displaymath}

när $h\rightarrow 0$.

Detta visar att f(g(x)) är deriverbar i a och att derivatan är f'(g(a))g'(a).


Sats Om funktionen f är kontinuerlig på intervallet [a,b], så är f begränsad på intervallet och antar ett största och minsta värde på det.

Bevis Antag att f inte är begränsad på intervallet [a,b]. Om vi delar intervallet i två lika stora delintervall måste ett av dem, låt oss kalla det [a1,b1] (av längd (b-a)/2), vara sådant att f inte är begränsad där. Vi kan förfara på samma vis med [a1,b1], och få en hälft [a2,b2] (av längd (b-a)/22) där f inte är begränsad.

Vi får successivt en avtagande följd av slutna intervall [an,bn] av längd (b-a)/2n. Enligt inkapslingssatsen finns det då ett tal r som ligger i samtliga av dessa intervall.

Eftersom f är kontinuerlig i r finns det ett tal $\delta\gt,$ så att |f(x)-f(r)|<1, när $\vert x-r\vert<\delta$. Detta ger att f(r)-1<f(x)<f(r)+1 när x ligger i intervallet $[r-\delta/2,r+\delta/2]$. Vi ser att f är begränsad på detta intervall.

Eftersom r ligger i samtliga intervall [an,bn] och längden av dessa går mot noll, ser vi att [an,bn] är innehållet i $[r-\delta/2,r+\delta/2],$ när n är tillräckligt stort. Men f är begränsad på det större intervallet och obegränsad på det mindre. En orimlighet. Antagandet att f inte är begränsad på [a,b] är därför felaktigt. Alltså är f begränsad på [a,b].

Vi visar nu att f antar ett största värde på [a,b]. Låt M vara den minsta övre begränsningen till f's värden på [a,b] (finns för f är begränsad på intervallet). Antag att $f(x)\neq M,$ för alla x i intervallet. Då är 1/(M-f(x)) en kontinuerlig funktion (>0) och därför uppåt begränsad, av låt oss säga N>0, på intervallet: 1/(M-f(x))<N. Detta ger oss att 1/N<M-f(x), eller f(x)<M-1/N<M, på intervallet. Detta motsäger att M är den minsta övre begränsningen till f på [a,b]. Antagandet att f inte antar detta värde är alltså felaktigt, så f antar värdet M på intervallet [a,b]. (f har alltså M som största värde på intervallet [a,b].)

Vi visar nu att f antar ett minsta värde på [a,b]. Funktionen -f är kontinuerlig på intervallet och antar, enligt vad som visats, ett största värde. Men detta är samtidigt minus det minsta värde som f antar. Alltså antar f ett minsta värde på intervallet.


Medelvärdessatsen Om f är kontinuerlig på [a,b] och deriverbar i (a,b), så finns det ett tal c i (a,b) så att

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

Bevis Vi betraktar funktionen g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a). Vi har att g är kontinuerlig på [a,b], deriverbar i (a,b) och g(a)=g(b)=0. Funktionen g antar ett största och ett minsta värde på intervallet. Om båda dessa är är funktionen g konstant med derivata g'(c)=0 i varje punkt i (a,b). Annars antas det största eller minsta värdet i en punkt c i (a,b). Vi vet att där är g'(c)=0. Så oavsett vilket är g'(c)=0, för någon punkt c i (a,b). Men då är 0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(a-b), vilket ger f(b)-f(a)=f'(c)(a-b), för något c i (a,b).