$\parbox{6cm}{MATEMATIK \\ Chalmers tekniska högskola\\ \\ Skriv n... ...nummer på varje inlämnat papper och linje samt inskrivningsår på omslaget\\ }$ $\parbox{6cm}{Hjälpmedel: typgodkänd räknare\\ Tele: NN \\ 0740-45 90 22\\ }$

Tentamen i TMA 305A Envariabelanalys I, del A, 01 00 01, kl 8.45-11.45.

1.

Visa att

$$\mbox{e}^{x}\gt 1+(1+x)\ln(1+x),$$

när x>0.

2.

Bestäm den linje som går genom (3,2) och som skär x- och y-axeln i (x,0) respektive (0,y), så att produkten xy minimeras.

3.

Låt

$$f(x)=\left\{ \begin{array} {lcr} \frac{\mbox{e}^{x}-1-x}{(... ...x\neq 0\\ \alpha & \mbox{ när } & x=0.\end{array} \right.$$

Bestäm $\alpha$ så att f blir kontinuerlig i alla reella tal. Visa också att f blir deriverbar i x=0, för detta val av $\alpha$ och bestäm f'(0).

4.

(a)

Vad betyder det, enligt definitionen, att f(x) är deriverbar i x=a.

(b)

Visa, utgående från definitionen, att f(x)=x²+x-1 är deriverbar i x=1.

(c)

Visa att om funktionerna f(x) och g(x) är deriverbara i x=a, så är också f(x)g(x) deriverbar i x=a.

5.

Formulera och bevisa medelvärdessatsen. Ge oclså exempel på en tillämpning av denna sats.