$\parbox{6cm}{MATEMATIK \\ Chalmers tekniska högskola\\ \\ Skriv n... ...nummer på varje inlämnat papper och linje samt inskrivningsår på omslaget\\ }$ $\parbox{6cm}{Hjälpmedel: typgodkänd räknare\\ Tele: NN \\ 0740-45 90 22\\ }$

Tentamen i TMA 305A Envariabelanalys I, del A, 01 00 02, kl 8.45-11.45.

1.

Bestäm de lokala extrempunkterna till funktionen

$$f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x+3}$$

Undersök också funktionen med avseend på konkavitet.

2.

Visa att funktionen

$$f(x)=\left\{ \begin{array} {lcl} \sin(x)/x & \mbox{ när } & x\neq 0\\ 1 & \mbox{ när } & x=0, \end{array}\right.$$

är deriverbar i alla reella tal och bestäm f'(x). Visa också att f'(x) är kontinuerlig.

3.

Om funktionen f vet man att den är två gånger deriverbar i alla reella tal och att f''>0. Visa att

$$f(x)+f(-x)\geq 0,$$

för alla reella tal x.

4.

(a)

Vad betyder det, enligt definitionen, att $f(x)\rightarrow A,$ när $x\rightarrow a$?

(b)

Visa, med definitionen, att $\sqrt{x}\rightarrow 1,$ när $x\rightarrow 1$.

(c)

Visa att om $f(x)\rightarrow A$ och $g(x)\rightarrow B,$ när $x\rightarrow a,$ så gäller att $f(x)g(x)\rightarrow B$.

5.

(a)

Vad menas med en övre begränsning till en mängd av reella tal?

(b)

Formulera och bevisa Inkapslingssatsen.

(c)

I satsen används en speciell typ av intervall. Visa med ett exempel att satsen inte gäller för allmänna intervall.