Inlämningsuppgift 2

 
I den här uppgiften ska Du följa en punkts resa längs periferin på ett cyckelhjul. Hjulets nav rör sig framåt med den konstant farten 1 (m/s) i en orealistisk evighet och har den något mindre orealistiska diametern 2 (m). Punkten Du ska följa har markkontakt vid tiden t=0.
 

 
Du ska dels beräkna vilken sträcka denna punkt har tillryggalagt vid tiden t, dels vilken medelhastighet den har vid tiden t.
 

1. Ange en parametriserad kurva (x(t),y(t)), $0\leq t,$ som beskriver punktens framfart.

 

2. I kursen har med visst fog farten för en parametriserad kurva vid tiden t definierats som $v(t)=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}$. Beräkna punktens fart vid tiden t. Antar v(t) ett största och ett minsta värde? I så fall när?

 

3. Beräkna $\int \sqrt{1-\cos(t)}\,dt$. (Tips: skriv $\sqrt{1-\cos(t)}=\sqrt{1-\cos(t)}/1$ och förläng med $\sqrt{1+\cos(t)},$ även om detta inte är helt ofarligt. Dela upp Ditt svar i två fall beroende på tecknet av $\cos(t)$.)

 

4. Funktionen $f(t)=\sqrt{t}$ är inte deriverbar i t=0; normalt brukar man för deriverbarhet i en punkt kräva att funktionen är definierad i en omgivning till punkten. När a är en ändpunkt till ett intervall av definitionsmängden kan man tala antingen om höger- eller vänsterderivatan av funktionen i a, som det eventuella gränsvärdet av (f(t)-f(a))/(t-a), när $t\rightarrow a^{+}$ respektive $t\rightarrow a^{-}$. I fallet med f(t) blir differenskvoten $(f(t)-f(0))/(t-0)=1/\sqrt{t},$ som saknar gränsvärde när $t\rightarrow 0^{+}$. Så $\sqrt{t}$ har ingen högerderivata i t=0. Lite märkligt är det därför att funktionen
   
   $$g(t)=\left\{ \begin{array}{rcl} -\sqrt{1+\cos(t)} & \mb... ...os(t)} & \mbox{ när } \pi\leq t\leq 2\pi \end{array}\right.$$
   
   
   faktiskt är deriverbar i $t=\pi$. Visa detta.

 

5. Tillryggalagda sträckan s(t) under tiden 0 till t ges av $s(t)=\int_{0}^{t}v(x)\,dx$. Beräkna s(t) och skissa dess graf med hjälp av en räknedosa. Om Du nu varit så oförsiktig i 3) som jag tror, kommer Du inte att förstå grafen Du får. Gå tillbaka till 3) och välj konstanter på olika delar av tallinjen så Din funktion s(t) blir en primitiv funktion till v(t) på hela icke-negativa tallinjen och så att s(0)=0.

 

6. Punktens medelhastighet under tiden från 0 till t ges av $v_{\mbox{medel}}=s(t)/t$. Skiss grafen till denna funktion med hjälp av en miniräknare.

 

7. (Behöver inte redovisas.) Fixera ett heltal k och bestäm största och minsta värdet av $v_{\mbox{medel}}$ på intervallet $[2k\pi,\infty[$ om de finns. Vad händer med $v_{\mbox{medel}}(t),$ när $t\rightarrow \infty$?

 
För full poäng krävs att Du motiverar Dina ställningstaganden med kalkyler och argument. Dina lösningar ska vara handskrivna och personliga, men samarbete är tillåtet.
 
Lösningen ska innehålla 1) en parametrisering av punktens bana, en beräkning av 2) v(t), med eventuella största/minsta värde, 3) s(t) och 4) derivatan i delen fyra ovan, samt 5) en skiss av grafen till $v_{\mbox{medel}}(t)$.
 
Lösningar lämnas i samband med föreläsningen onsdagen den 15 oktober. Inga uppskov medges, oavsett vilka förklaringar som ges. Uppgiften kan ge maximalt tre examinationspoäng.